微分方程
另一个领域,发达国家相当在19世纪是微分方程的理论。先锋再次在这个方向柯西。最重要的是,他坚持要一个证明解决方案确实存在;它不是先天的明显,每一个常微分方程有解决方案。柯西提出了这些问题的方法安装自然进他的项目提供严格的所有的基础微积分。他喜欢解决方法,虽然他不常用的两种方法,同样在现实和复杂的情况下工作。它建立了一个解决方案的存在等于获得的传统幂级数方法利用新开发的技术在他的函数论复杂的变量。
困难的部分理论微分方程问题偏微分方程,那些未知的函数是一个多变量的函数。在19世纪早期没有已知的方法证明了给定第二或高阶偏微分方程有一个解决方案,甚至没有一个方法写作一个可信的候选人。在这种情况下,进步是不太明显。柯西发现新的和更严格的一阶偏微分方程的方法,但一般情况下没有治疗。
一个重要的特殊情况被成功起诉,动力学。动力学的研究吗运动一个物理系统的力的作用下。彼此独立的工作,威廉·罗文汉密尔顿在爱尔兰和卡尔·雅可比在德国显示动力学的问题可以被简化为一阶偏微分方程组。从这个基地成长一个广泛研究的某些部分微分算子。这些都是简单的概括的一个部分分化(∂/∂x)的形式
在哪里一个的功能x的年代。执行其中的几个连续的效果可以很复杂,但雅可比和其他这个领域的先锋们发现,有正式的规则,这样的运营商倾向于满足。这使他们将注意力转移到这些正式规则,并逐渐一个代数分析数学分支开始出现。
最具影响力的工人在这个方向是挪威人索菲的谎言。谎言,独立威廉杀死在德国,来到怀疑偏微分系统的运营商他们正在研究多种类型有限。一次的数量独立变量指定(固定吗维系统的),一个大的例子,包括许多的几何意义,似乎落入少数模式。这表明系统可以分类,这样的前景自然兴奋的数学家。很多工作后通过谎言和杀害,后来由法国数学家Elie-Joseph嘉当,他们被分类。最初,这一发现引起了兴趣,因为它生产的订单,之前的复杂性已经受到威胁混乱因为它可以使几何意义。有是主要的实现影响的研究工作物理躺在未来。
线性代数
微分方程,普通或部分,是否盈利可能分为线性或非线性;线性微分方程的这两种解决方案的和是一个解决方案。的方程给一个振动的弦的形状是线性的,它提供了数学的原因为什么一个字符串可能同时发出多个频率。的线性方程,很容易找到其解决方案,所以在一般线性问题已经成功解决,非线性方程组继续是困难的。实际上,在许多可以找到有线性问题有限的家庭财产,任何解决方案的解决方案是他们的总和(适当乘以任意常数)。获得这样一个家庭,称为基础上,并将它们纳入最简单和最有用的形式,是一个重要的来源的许多技术领域的线性代数。
考虑,例如,线性微分方程组
这显然是更加困难比系统研究dy1/dx=αy1,dy2/dx=βy2的解决方案(常数的倍数)y1= exp(αx),y2= exp(βx)。但如果一个合适的线性组合y1和y2可以找到第一个系统减少了第二个,然后它就足以解决第二个系统。这种减少的存在是由一个决定数组的四个数字
这被称为矩阵。1858年,英国数学家阿瑟·凯莱开始研究矩阵在他们自己的权利时,他注意到他们满足多项式方程。矩阵
例如,满足的方程一个2−(一个+d)一个+ (一个d−bc)= 0。此外,如果这个方程有两个截然不同的根——α和β-then寻求减少将存在,和系数的简单系统确实会被那些根α和β。如果方程有重复根减少,那么通常不能进行。在这两种情况下的困难解决原始的一部分微分方程已经减少到初等代数。
线性代数的研究开始由凯莱,继续利奥波德克罗内克包括一个强大的理论向量空间。这些集合的元素可以被添加在一起,乘以任意的数字,比如家庭线性微分方程的解决方案。一个更熟悉的例子就是三维空间。如果选择一个原点,那么每一个点在空间可以标记行段(称为向量)加入到原点。矩阵显示为代表向量space-i.e的线性变换的方法。通过数字转换,保持资金和乘法:转换T是线性的如果任何向量u,v,T(u+v)=T(u)+T(v),为任何标量λ,T;(λv)=λT(v)。当向量空间是有限维的,线性代数和几何形成一个强有力的组合。向量空间的无限尺寸也进行了研究。
向量空间理论在其他方面是有用的。在三维空间中向量代表速度和等身体重要的概念部队。这样一个向量分配给点称为向量场;例子包括电场和磁场。科学家们如詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和威拉德·j·吉布斯拿起矢量分析和能够扩展向量微积分的方法。他们介绍了方法的措施向量场不同无穷小,根据名字div,研究生旋度,已成为标准工具的研究电磁和潜在的理论。现代数学家,div、研究生和旋度理论的组成部分斯托克斯定律(一个特例是绿色的定理)是中央。Gauss-Green-Stokes定理、高斯命名和19世纪的两大英语应用数学家(乔治·斯托克斯和乔治绿色),概括函数的微积分基本定理的几个变量。的微积分基本定理断言
可读的话说,积分的导数的函数在一个区间等于值之差的函数在区间的端点。广义的一部分表面或空间,这个断言积分的一些函数的导数等于函数的积分区域的边界地区。在这说∫象征dω=∫ω,第一个积分是接管该地区在其边界问题,第二个积分,dω是ω的导数。
的基础几何
在19世纪晚期霸权的欧几里德几何被挑战非欧几里得的几何学和射影几何。第一个明显的试图重组几何学的研究是由德国数学家菲利克斯•克莱因并于1872年发表在埃朗根。在他的厄兰格方针克莱因提出,欧几里得和非欧几里得的几何学被视为射影几何的特殊情况。在每种情况下的共同特征,在克莱恩的意见,让他们几何图形都有集点,称为“和空间。集团的转换通过数据可以移动的空间没有改变他们的基本性质。例如,在欧氏平面几何空间熟悉的飞机,和转换的旋转,反射,翻译,及其复合材料,其中没有一个改变长度或角度,在欧几里德几何的基本性质。不同的几何图形将有不同的空间和不同的团体,和数据将有不同的基本性质。
克莱恩产生一个大型类账户,统一的geometries-roughly来说,那些都是均匀在某种意义上,每一块的空间看起来像其他的空间。这种排斥,例如,几何图形的表面变量曲率,但是它产生了一个有吸引力的包装和欣慰直觉那些觉得不知何故射影几何的基础。继续像说谎的想法出现时,正确的方法,这似乎是一个不错的谎言之间的连接类型的分类和几何由克莱因。
数学家们现在可以问为什么他们认为欧几里德几何学是唯一的时候,事实上,许多不同的几何图形的存在。第一个成功这个问题是德国数学家莫里茨派斯克,他在1882年提出,错误已经过于依赖物理直觉。在他看来一个参数在数学应该其有效性并不是靠条款涉及的物理解释,但在纯粹的形式标准。事实上,的原则二元性是暴力的几何规范化的人相信什么(物理)点和线;一个不相信这些词是可以互换的。
派斯克的观点引起了德国数学家的注意大卫希尔伯特,法国数学家亨利。庞加莱,来主导数学在20世纪初。想知道为什么它是数学和特别是geometry-produced正确的结果,他感觉越来越多,不是因为清晰的定义。相反,数学因为它的(基本)条款无意义的工作。是什么让它朝着正确的方向的规则推理。证明通过应用程序是有效的,因为他们建造的规则吗推理根据新断言,可以声明是真的仅仅是因为他们可以导出,通过这些规则,从之前证明的公理或定理。定理和公理被视为正式的语句表达这些术语之间的关系。
数学术语的使用规则是任意的,希耳伯特认为,每个数学家可以选择他们,提供唯一的选择是有条理的。一个数学家抽象系统产生无约束的需要科学科学家发现,如果一个抽象的系统,适合他们的一个问题,他们可以应用系统安全的知识,这是逻辑上一致的。
希尔伯特开始兴奋的观点(在他的《Geometrie(1899;”几何的基础”),当他看到领导不仅仅是为了一个明确的解决方式在克莱恩的几何图形层次结构根据不同的axiom系统他们遵守新的几何图形。第一次有一种讨论几何,躺甚至超过了黎曼提出的一般条款。并不是所有的这些几何图形继续是感兴趣的,但一般道德希尔伯特第一画几何他不久将为整个数学。
数学的基础
19世纪晚期,讨论几何的基础已经成为一个正在运行的争论的焦点的性质的数学分支。柯西的微积分的基础工作,完成了由德国数学家卡尔·维尔斯特拉斯在1870年代末,左一个大厦,休息等概念的自然数(整数1、2、3,等等),在某些建筑涉及他们。代数数论和转换理论方程集中注意力在抽象的数学结构。被质疑的数字自巴比伦时期是最好的演员理论上的完全现代创作的独立于物理世界之外争端。最后,几何,远不是一种抽象的物理,现在被视为处理意义方面服从任意系统的规则。尽管没有有意识的计划主要方向,考虑的阶段是关于数学的本质的问题。
类似的电流的研究工作逻辑,这在19世纪也经历了复兴。英国数学家的工作乔治·布尔和美国查尔斯•桑德斯皮尔斯造成一个象征意义的发展足够的探索所有基本的逻辑推论。值得注意的是,在这个问题上被称为布尔书调查法的思想,建立逻辑的数学理论和概率(1854)。在德国,逻辑学家Gottlob弗雷格所吩咐