微积分gydF4y2Ba

微积分gydF4y2Ba，分支gydF4y2Ba数学gydF4y2Ba有关瞬时变化率的计算(gydF4y2Ba微分学gydF4y2Ba)和无穷多个小因子的总和来决定一个整体(gydF4y2Ba积分学gydF4y2Ba)．两个数学家,gydF4y2Ba艾萨克·牛顿gydF4y2Ba英格兰和gydF4y2Ba戈特弗里德·威廉·莱布尼茨gydF4y2Ba他在17世纪独立发展了微积分。微积分现在是任何想要学习的人的基本入门gydF4y2Ba物理gydF4y2Ba，化学，生物，gydF4y2Ba经济学gydF4y2Ba财务或精算gydF4y2Ba科学gydF4y2Ba．微积分使解决问题成为可能gydF4y2Ba多样化的gydF4y2Ba作为跟踪的位置gydF4y2Ba航天飞机gydF4y2Ba或者预测gydF4y2Ba压力gydF4y2Ba当水上涨时，在大坝后面建造。计算机已经成为解决微积分问题的有价值的工具，这些问题曾经被认为是不可思议的困难。gydF4y2Ba

计算曲线和曲线下面积gydF4y2Ba

微积分起源于一些最古老的理论gydF4y2Ba几何gydF4y2Ba问题记录在案。埃及gydF4y2BaRhind纸莎草gydF4y2Ba（gydF4y2Bac。gydF4y2Ba1650gydF4y2Ba公元前gydF4y2Ba)给出查找的规则gydF4y2Ba区域gydF4y2Ba一个圆和一个截断的金字塔的体积。古希腊几何学家研究寻找曲线的切线gydF4y2Ba重心gydF4y2Ba平面图形和实体图形，以及由围绕固定轴旋转各种曲线形成的物体体积。gydF4y2Ba

1635年，这位意大利数学家gydF4y2Ba兰西CavalierigydF4y2Ba对严谨的希腊几何工具的补充gydF4y2Ba启发式gydF4y2Ba使用无限小的线段、面积和体积的方法。1637年，法国数学家兼哲学家gydF4y2Ba勒奈·笛卡尔gydF4y2Ba发表了他的发明gydF4y2Ba解析几何gydF4y2Ba用于对几何图形进行代数描述。笛卡尔的方法，结合了由运动点产生曲线的古老思想，使牛顿等数学家得以描述gydF4y2Ba运动gydF4y2Ba用代数方法。突然间，几何学家可以超越以往的单一情况和特殊方法。他们可以看到结果的模式，从而推测出新的结果，这是旧的几何语言所掩盖的。gydF4y2Ba

例如，希腊几何学家gydF4y2Ba阿基米德gydF4y2Ba(287 - 212/211gydF4y2Ba公元前gydF4y2Ba)作为一个孤立的结果发现，a的一段的面积gydF4y2Ba抛物线gydF4y2Ba等于某个三角形。但在代数符号中，抛物线被写成gydF4y2BaygydF4y2Ba＝gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba，卡瓦列里和其他几何学家很快注意到这条曲线和gydF4y2BaxgydF4y2Ba-轴从0到gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba^3.gydF4y2Ba/3，曲线也有类似的规则gydF4y2BaygydF4y2Ba＝gydF4y2BaxgydF4y2Ba^3.gydF4y2Ba-即对应的面积为gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba^4gydF4y2Ba/ 4。从这里，他们不难猜出曲线下面积的一般公式gydF4y2BaygydF4y2Ba＝gydF4y2BaxgydF4y2Ba^ngydF4y2Ba是gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba^{ngydF4y2Ba+ 1gydF4y2Ba}/ (gydF4y2BangydF4y2Ba+ 1)。gydF4y2Ba

计算速度和斜率gydF4y2Ba

寻找的问题gydF4y2Ba切线gydF4y2Ba对曲线的研究与那位意大利科学家提出的一个重要问题密切相关gydF4y2Ba伽利略的gydF4y2Ba运动的研究，寻找gydF4y2Ba速度gydF4y2Ba在粒子按照某种定律运动的任何时刻。伽利略在gydF4y2BatgydF4y2Ba几秒钟，一个自由下落的物体下落了一段距离gydF4y2BaggydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba/ 2,gydF4y2BaggydF4y2Ba是一个gydF4y2Ba常数gydF4y2Ba(后来被牛顿解释为gydF4y2Ba引力gydF4y2Ba常数)。平均速度的定义为每次的距离，物体在一段时间内的平均速度gydF4y2BatgydF4y2Ba来gydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BahgydF4y2Ba由表达式[给出gydF4y2BaggydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BahgydF4y2Ba）gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba/ 2−gydF4y2BaggydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba/ 2) /gydF4y2BahgydF4y2Ba．这可以简化为gydF4y2BaggydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BaggydF4y2BahgydF4y2Ba/2，被称为gydF4y2Ba的差商gydF4y2Ba函数gydF4y2BaggydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba/ 2。作为gydF4y2BahgydF4y2Ba趋于0，这个公式趋于gydF4y2BaggydF4y2BatgydF4y2Ba，即落体在时间上的瞬时速度gydF4y2BatgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

运动的表达式与运动的表达式相同gydF4y2Ba坡gydF4y2Ba的gydF4y2Ba切gydF4y2Ba到抛物线gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba) =gydF4y2BaygydF4y2Ba＝gydF4y2BaggydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba这一点是/2gydF4y2BatgydF4y2Ba．在这个几何图形中gydF4y2Ba上下文gydF4y2Ba，表达式gydF4y2BaggydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BaggydF4y2BahgydF4y2Ba/2(或其等值物[gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BahgydF4y2Ba)−gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba) /gydF4y2BahgydF4y2Ba)表示割线的斜率gydF4y2Ba行gydF4y2Ba连接点(gydF4y2BatgydF4y2Ba，gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba))到邻近的地点(gydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BahgydF4y2Ba，gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BahgydF4y2Ba)) (gydF4y2Ba看到gydF4y2Ba数字gydF4y2Ba)．在gydF4y2Ba限制gydF4y2Ba，间隔越来越小gydF4y2BahgydF4y2Ba时，割线趋于切线及其斜率gydF4y2BatgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

因此，差商可以解释为瞬时速度或曲线的切线斜率。正是微积分在几何和物理之间建立了这种深刻的联系——在这个过程中，它改变了物理学，并赋予了一种新的gydF4y2Ba动力gydF4y2Ba对几何的研究。gydF4y2Ba

差异化与整合gydF4y2Ba

牛顿和莱布尼茨独立地建立了简单的公式来求曲线上任意一点的切线斜率，只要给出曲线的公式。函数的变化率gydF4y2BafgydF4y2Ba(用gydF4y2BafgydF4y2Ba’)被称为itsgydF4y2Ba导数gydF4y2Ba．求导数函数的公式叫做gydF4y2Ba分化gydF4y2Ba，而这样做的规则构成了微分学的基础。根据上下文，导数可以解释为切线的斜率，运动粒子的速度，或其他量，其中存在gydF4y2Ba巨大的力量gydF4y2Ba的gydF4y2Ba微分gydF4y2Ba微积分。gydF4y2Ba

微分学的一个重要应用是画出给定方程的曲线gydF4y2BaygydF4y2Ba＝gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba)．这涉及到，特别地，找到局部的最大值和最小值点gydF4y2Ba图gydF4y2Ba，以及屈折的变化(凸到凹，或反之)。类中使用的函数gydF4y2Ba数学模型gydF4y2Ba，这些几何概念有物理解释，使科学家或工程师迅速获得一个物理系统的行为的感觉。gydF4y2Ba

牛顿和莱布尼茨的另一个伟大发现是，精确地说，求函数的导数gydF4y2Ba逆gydF4y2Ba关于求曲线下面积的问题，这个原理现在被称为gydF4y2Ba微积分基本定理gydF4y2Ba．具体来说，牛顿发现如果存在一个函数gydF4y2BaFgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba)表示曲线下的面积gydF4y2BaygydF4y2Ba＝gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba)从0到gydF4y2BatgydF4y2Ba，那么这个函数的导数就等于原曲线在这个区间上的导数，gydF4y2BaFgydF4y2Ba”(gydF4y2BatgydF4y2Ba) =gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba)．因此，求曲线下的面积gydF4y2BaygydF4y2Ba＝gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba从0到gydF4y2BatgydF4y2Ba，只要找到一个函数就足够了gydF4y2BaFgydF4y2Ba这gydF4y2BaFgydF4y2Ba”(gydF4y2BatgydF4y2Ba) =gydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba．微分学表明，这类函数最一般的是gydF4y2BaxgydF4y2Ba^3.gydF4y2Ba/ 3 +gydF4y2BaCgydF4y2Ba,在那里gydF4y2BaCgydF4y2Ba是一个任意常数。这叫做gydF4y2Ba(不定)gydF4y2Ba积分gydF4y2Ba函数的gydF4y2BaygydF4y2Ba＝gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba它的发音是∫gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba．最初的符号∫是一个拉长的S，代表总和和gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba指示函数对其求和的变量或轴的无限小增量。莱布尼茨提出这个是因为他想到gydF4y2Ba集成gydF4y2Ba用无穷多个面积的和来求曲线下的面积gydF4y2Ba无穷小gydF4y2Ba之间的薄矩形gydF4y2BaxgydF4y2Ba-轴和曲线。牛顿和莱布尼茨发现了这一点gydF4y2Ba集成gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba)等价于解一个gydF4y2Ba微分方程gydF4y2Ba即:，finding a functionFgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba)以致gydF4y2BaFgydF4y2Ba”(gydF4y2BatgydF4y2Ba) =gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba)．在物理上，解这个方程可以解释为求距离gydF4y2BaFgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba)由速度具有给定表达式的物体运动gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

微积分中与计算有关的分支gydF4y2Ba积分gydF4y2Ba是gydF4y2Ba积分gydF4y2Ba微积分，在它的许多应用中发现gydF4y2Ba工作gydF4y2Ba由物理系统完成，并计算在给定深度下大坝背后的压力。gydF4y2Ba