三个经典问题

虽然欧几里得解决了100多个施工问题元素，还有更多的人提出了解决方案，他们需要的不仅仅是指南针和直尺。有三个这样的问题在后来的几何学家中引起了极大的兴趣，它们被称为“经典问题”:立方体加倍(即，构造一个体积是给定立方体两倍的立方体)，三分角,把圆摆平．即使在前欧几里得时期，人们也在努力构建一个广场与给定圆的面积相等。一些相关的结果来自希波克拉底(看到边栏:月圆的正交）;其他报道来自安提丰和布莱森;欧几里德几何学的定理在圆圈里元素，第12卷，命题2，指出圆在比它们的平方直径这对这次搜索很重要。但是第一次真正的建筑(必须指出，不是通过欧几里得的工具，因为这是不可能的)直到3世纪才出现公元前．天使的早期历史三等分是模糊的。据推测，这是在前欧几里得时期的尝试，尽管解决方案只知道从3世纪或更晚。

然而，在前欧几里得时期，有几次成功的将立方体加倍的尝试。希波克拉底表明这个问题可以简化为求两个平均比例:如果是给定的行一个有必要去寻找x这样x^3.＝ 2一个^3.、线x而且y可能是这样的一个：x＝x：y＝y：2一个；因为那时一个^3./x^3.= (一个/x）^3.= (一个/x）（x/y）（y/ 2一个) =一个/ 2一个= 1/2。(注意，同样的论点适用于任何乘数，而不仅仅是数字2。)因此，如果有可能找到两个平均比例，立方体可以翻倍x而且y在两条给定的线之间一个和2一个．两种方法问题的构造由阿基塔斯、欧多克索斯和Menaechmus在4世纪公元前．例如，Menaechmus构造了三条与这些相同比例对应的曲线:x²＝一个y，y²＝ 2一个x,xy＝ 2一个²；任意两条直线的交点就会得到这条直线x这样问题就解决了。Menaechmus的曲线是圆锥形的部分:前两个是抛物线，第三个是a双曲线．因此，经常有人声称，Menaechmus起源于研究圆锥部分．事实上，普罗克拉斯和他的老权威，双子座(1世纪中期ce)，似乎持有这种观点。证据并没有表明menachement实际上是怎样的构思然而，对于曲线的概念，有可能直到后来，接近欧几里得的时代，才开始对圆锥曲线的正式研究。欧几里得和更年长的同时代人阿里斯托斯都对圆锥曲线理论进行了处理(现已失传)。

在寻求问题的解决方案时，几何学家发展了一种特殊的技术，他们称之为“分析他们假设这个问题已经解决了，然后，通过研究这个解的性质，回过头来寻找一个可以在给定的基础上解决的等效问题。为了得到原始问题的形式正确的解，几何学家们反过来做了这个过程:首先用数据用来求解分析中导出的等效问题，由得到的解来求解原问题。与分析相反，这个反向的过程被称为“合成．”

Menaechmus的立方体复制是分析的一个例子:他假设了平均比例x而且y然后发现它们等价于三条曲线相交的结果，这三条曲线的结构他可以认为是已知的。(综合包括引入曲线，找到它们的交点，并表明这解决了问题。)很明显，四世纪的几何学家公元前我们对这种方法很熟悉，但欧几里得只是对欧几里得所解决的问题进行综合，而不是分析元素．当然，在比较复杂的结构的情况下，毫无疑问，某种形式的分析之前合成载于元素．

阿基米德

阿基米德最著名的是他对尤多克西亚的使用用尽方法在测量曲面和体积以及他在力学中的几何应用。第一次出现和证明3的近似¹/₇求周长与直径圆(现在被指定为π)。阿基米德的特点是，他超越了人们熟悉的概念，如简单的近似，而有了更微妙的见解，如界限的概念。例如，他指出了规则的周长多边形绕圆的边界最终小于3¹/₇直径随着边数的增加而增加(阿基米德建立了96边多边形的结果);同样，内切多边形的周长最终也大于3¹⁰/₇₁．因此，这两个值分别是的上界和下界π．

阿基米德的结果与问题有关圆他根据另一个定理证明了正交:圆的面积等于a的面积三角形谁的高度等于圆的半径，谁的基地等于周长。他建立了类似的调查结果球证明了球面的体积等于a的体积锥谁的高等于球的半径，谁的底等于球的半径表面区域;他发现球体的表面积是其最大圆面积的四倍。同样地，球体的体积是球体的三分之二油缸它只是包含了它(即高度和直径等于球体的直径)，而它的表面也等于相同圆柱体的三分之二(也就是说，如果包括顶部和底部包围圆柱体的圆)。希腊历史学家普鲁塔克(二世纪初ce)中提到，阿基米德要求将这个定理的图刻在他的墓碑上，这也得到了这位罗马作家的证实西塞罗(1世纪公元前)，他实际上在公元75年发现了这座陵墓公元前当时他是西西里的财务大臣。