欧几里德几何

欧几里德几何在希腊数学家所使用的公理和定理的基础上研究平面和固体图形的学科欧几里得(300 c。公元前)．在它的粗略轮廓，欧几里得几何是平面和固体几何通常教在中学。事实上，直到19世纪下半叶非欧几里得的几何图形引起了数学家们的注意，几何也就是欧几里得几何。它是一般数学思维最典型的表达方式。而不是单纯的死记硬背算法死记硬背解方式，需要对课题有真正的洞察力，在特殊情况下应用定理的聪明想法，从已知事实中归纳的能力，以及坚持证明的重要性。在欧几里得的伟大著作中元素当时，用于几何构造的唯一工具是尺子和圆规——这一限制直到今天仍保留在初级欧几里得几何中。

在其严格的演绎组织，元素一直是科学阐述的典范，直到19世纪末，德国数学家大卫希尔伯特写了他著名的几何基础(1899)。欧几里得几何的现代版本是多重欧几里得(坐标)空间的理论维的适当泛化来测量距离勾股定理．看到解析几何而且代数几何．

基本面

欧几里得意识到一个严谨的发展几何必须从基础开始。因此，他开始了元素一些未定义的术语，如“点是没有部分的”和“a行是一个没有宽度的长度。”从这些术语出发，他进一步定义了诸如角、圆、三角形等概念多边形和数字。例如，角度被定义为两条直线的倾角，而a圆是一种平面图形，由距离给定中心有固定距离(半径)的所有点组成。

作为进一步逻辑的基础扣除，欧几里得提出了五个常见的概念，如“相同的事物是相等的”，以及五个无法证明但直观的原则，被称为各种假设或公理．用现代术语来说，这些公理如下:

• 1.给定两点，有一条直线连接它们。
• 2.直线段可以无限延长。
• 3.当圆的中心点和半径距离给定时，就可以构造圆。
• 4.所有的直角都是相等的。
• 5.如果一条直线落在两条直线上，使同一侧的内角小于两个直角，那么，如果无限地产生这两条直线，就会在内角小于两个直角的那一侧相交。

希尔伯特精制公理(1)及(5)规定如下:

• 1.对于任意两个不同的点，(a)存在一条包含这两点的直线，(b)这条直线是唯一的。
• 5.对于任何直线l和点p而不是在l(a)有一条线穿过p没有会议l， (b)该线是唯一的。

第五个公理被称为”平行公设，”因为它为……的独特性提供了基础平行线．(它吸引了人们极大的兴趣，因为它似乎不像其他方法那样直观或不证自明。在19世纪，卡尔·弗里德里希·高斯，Janos Bolyai,Nikolay Lobachevsky所有人都开始试验这一假设，最终得出了新的结论，非欧几里得的几何图形,)。这五个公理为无数可证明的命题或定理提供了基础，欧几里得在此基础上建立了他的几何学。本文的其余部分简要地解释了欧几里得平面几何和固体几何中最重要的定理。