两千年来，数学的基础似乎坚不可摧。欧几里得的元素（c。300公元前)，提出了一个集基于一些基本术语和公理的形式逻辑论证，提供了一种理性探索的系统方法，指导数学家、哲学家和科学家进入19世纪。甚至严重的反对意见缺乏严谨性艾萨克·牛顿爵士的中通量(导数)的概念微积分由盎格鲁-爱尔兰经验主义者提出乔治·伯克利(除其他外)，并没有对数学的基本基础提出质疑。在19世纪发现了一致性选择几何图形然而，它却引发了一场危机，因为它表明欧几里德几何这似乎是最直观的公理假设与数学家们所相信的现实并不相符。再加上这位德国数学家的大胆发现Georg康托尔在集理论他明确指出，为了避免进一步的混乱和令人满意地回答矛盾的结果，需要一个新的和更严格的数学基础。

因此，20世纪开始寻求在独立于几何的新基础上重建数学直觉．早期的努力包括英国数学家的逻辑学派伯特兰·罗素而且阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德国数学家的形式主义学派大卫希尔伯特，荷兰直觉主义学派的数学家L.E.J.布鲁维尔，以及法国集合论学派的数学家共同以尼古拉斯·布尔巴基．目前最有前途的一些研究是基于美国数学家范畴理论的发展桑德斯·麦克莱恩波兰出生的美国数学家塞缪尔·艾伦伯格紧随其后二战期间．

这篇文章介绍了基础问题的历史背景和20世纪构建数学新基础的努力。

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数字与数学

从古希腊到启蒙运动

大量的实用数学，有些甚至相当复杂的，早在2000年就已经开发出来公元前埃及和美索不达米亚的农业文明，甚至更远的东方。然而，最早对数学基础表现出兴趣的是古代希腊人．

算术或几何

早期的希腊哲学一直在争论哪个更基本，算术或几何，因此，数学是否应该主要关注(正数)整数或者(正的)实数，后者被认为是几何量的比率。(希腊人把自己限制在正数因为直到很久以后，婆罗门笈多才将负数引入印度。)这场争论的基础是一个显而易见的基本问题二分法宇宙是由离散的原子(如哲学家德谟克利特所认为的那样)组成的，因此可以计算，还是由一个或多个连续的物质(如米利都的泰勒斯被认为是相信的)，因此只能衡量?这种二分法大概是受到一种语言差异的启发，类似的英语计数名词，如“apple”和质量名词，如“water”之间的差异。作为亚里士多德后来指出，为了调和这些不同的位置，水可以通过数杯子来测量。

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的毕达哥拉斯数学学派，建立在希腊哲学家毕达哥拉斯的学说之上，最初坚持只有自然数和有理数存在。它的成员只是不情愿地接受了这个发现的平方根√2,比正方形对角线与其边长的比值，不能表示为整数之比。卓越的证明亚里士多德一直保存着这一事实。

理性与现实的矛盾最终由克尼德斯的欧多克索斯,一个弟子的柏拉图他指出，两个几何量的比值当且仅当它们以相同的方式划分(正)有理数集时是相等的，从而预见了德国数学家理查德绰金(1831-1916)，他将实数定义为这样的分区。

存在与成为

前苏格拉底哲学家之间的另一个争论是更关心物质世界。巴门尼德声称在现实世界中没有所谓的变化，时间的流动是一种错觉这一观点与爱因斯坦-闵可夫斯基(Einstein-Minkowski)的宇宙四维时空模型相似。Heracleitus另一方面，他断言变化是无所不在的，并说过“一个人不能两次踏入同一条河流”。

以利亚的芝诺巴门尼德的追随者，声称改变实际上是不可能的，并提出了四个悖论为了证明这一点。其中最著名的一段描述了两国之间的竞争阿基里斯还有一只乌龟。既然阿喀琉斯比乌龟跑得快得多，假设是乌龟的两倍，那么乌龟就可以领先一英里。当阿喀琉斯跑了一英里时，乌龟会再跑一半的距离——也就是半英里。当阿喀琉斯跑完这额外的半英里时，乌龟还会再跑四分之一英里。后n+ 1级，阿基里斯跑了方程。迈尔斯和乌龟跑了数学公式。英里，仍然是1/2^{n+ 1}英里。阿基里斯怎么可能追上乌龟呢?看到图)?

芝诺悖论也可以解释为表明空间和时间不是由离散的原子组成的，而是无限可分的物质。从数学上讲，他的论点的和无限几何级数数学公式。没有一个有限的部分和加起来等于2。正如亚里士多德后来所说，这种发展只是潜在的无限。现在可以理解，芝诺是在试图掌握这个概念限制这个问题直到19世纪才得到正式的解释，尽管法国百科全书作者在这个方向上已经有了一个开端让·勒朗贝尔(1717 - 83)。