数学基础gydF4y2Ba
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范畴论gydF4y2Ba

抽象gydF4y2Ba在数学方面gydF4y2Ba

的发展趋势之一gydF4y2Ba数学gydF4y2Ba一直是逐渐抽象的过程。挪威数学家gydF4y2Ba尼尔斯·亨里克·阿贝尔gydF4y2Ba(1802 - 1829)证明了五次方程一般不能用根号解。法国数学家gydF4y2BaEvariste伽罗瓦gydF4y2Ba(1811-32)，部分受到阿贝尔工作的推动，引入了某些gydF4y2Ba组gydF4y2Ba来确定a的必要条件gydF4y2Ba多项式gydF4y2Ba方程gydF4y2Ba可以解决。这些具体的群很快就产生了抽象的群，这些群被公理化地描述。后来，人们认识到，要研究群体，就必须研究不同群体之间的关系，特别是映射同一群体的同态gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba在保留组操作的同时进入另一个组。因此，人们开始研究现在所谓的gydF4y2Ba组的具体类别，其对象为组，箭头为gydF4y2Ba同态gydF4y2Ba．没过多久，具体范畴就被抽象范畴所取代，抽象范畴同样是不言自明的。gydF4y2Ba

a的重要概念gydF4y2Ba类别gydF4y2Ba由塞缪尔·艾伦伯格和gydF4y2Ba桑德斯·麦克莱恩gydF4y2Ba在最后gydF4y2Ba二战期间gydF4y2Ba．这些现代范畴必须加以区分gydF4y2Ba亚里士多德的gydF4y2Ba类别，在现在被称为类型更好gydF4y2Ba上下文gydF4y2Ba．一个类别不仅有对象，还有它们之间的箭头(也称为态射、转换或映射)。gydF4y2Ba

许多范畴作为对象集被赋予了某种结构和箭头，以保持这种结构。因此，存在集(空结构)和映射、群和群同态、环和环同态、的范畴gydF4y2Ba向量gydF4y2Ba空间和线性变换，拓扑空间和连续映射，等等。在更抽象的层面上，甚至存在(小)范畴和范畴gydF4y2Ba子gydF4y2Ba，即类别之间的态射，它保持了对象和箭头之间的关系。gydF4y2Ba

并非所有类别都可以用这种具体的方式来看待。例如，一个演绎系统的公式可以被视为一个范畴的对象，其箭头gydF4y2BafgydF4y2Ba：gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba→gydF4y2BaBgydF4y2Ba都是gydF4y2BaBgydF4y2Ba从gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．事实上，这一观点在理论上是重要的gydF4y2Ba计算机科学gydF4y2Ba在美国，公式被认为是类型，演绎被认为是操作。gydF4y2Ba

更正式地说，类别由(1)对象的集合组成gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba，gydF4y2BaBgydF4y2Ba，gydF4y2BaCgydF4y2Ba(2)对于集合中的每个有序对象对，一个包含恒等I的相关转换集合gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba∶gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba→gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba(3)的相关定律gydF4y2Ba作文gydF4y2Ba对于类别中对象的每一个有序三重gydF4y2BafgydF4y2Ba∶gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba→gydF4y2BaBgydF4y2Ba而且gydF4y2BaggydF4y2Ba∶gydF4y2BaBgydF4y2Ba→gydF4y2BaCgydF4y2Ba这篇作文gydF4y2BaggydF4y2BafgydF4y2Ba(或gydF4y2BaggydF4y2Ba○gydF4y2BafgydF4y2Ba)是由gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba来gydF4y2BaCgydF4y2Ba即:gydF4y2BaggydF4y2BafgydF4y2Ba∶gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba→gydF4y2BaCgydF4y2Ba．此外,gydF4y2Ba结合律gydF4y2Ba并且需要持有身份(其中gydF4y2Ba作文gydF4y2Ba定义)即:gydF4y2BahgydF4y2Ba（gydF4y2BaggydF4y2BafgydF4y2Ba) = (gydF4y2BahgydF4y2BaggydF4y2Ba）gydF4y2BafgydF4y2Ba和1gydF4y2BaBgydF4y2BafgydF4y2Ba＝gydF4y2BafgydF4y2Ba＝gydF4y2BafgydF4y2Ba1gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

在某种意义上，抽象范畴的对象没有窗口，就像莱布尼茨的单子一样。推断:推断一个物体的内部gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba你只需要看看所有的箭头从其他对象gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．例如，在gydF4y2Ba集合的类别，a的元素gydF4y2Ba集gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba可以用箭头表示从一个典型的单元素集变成gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．同样，在小类别的类别中，如果gydF4y2Ba1gydF4y2Ba只有一个对象且没有非同一性箭头的类别是类别的对象吗gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba可以与函子等同吗gydF4y2Ba1gydF4y2Ba→gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．此外,如果gydF4y2Ba2gydF4y2Ba是有两个对象和一个非同一性箭头的范畴吗gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba可以与函子等同吗gydF4y2Ba2gydF4y2Ba→gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

同构结构gydF4y2Ba

一个箭头gydF4y2BafgydF4y2Ba∶gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba→gydF4y2BaBgydF4y2Ba叫做gydF4y2Ba同构gydF4y2Ba如果有箭头gydF4y2BaggydF4y2Ba∶gydF4y2BaBgydF4y2Ba→gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba逆gydF4y2Ba来gydF4y2BafgydF4y2Ba-就是这样gydF4y2BaggydF4y2Ba○gydF4y2BafgydF4y2Ba= 1gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba而且gydF4y2BafgydF4y2Ba○gydF4y2BaggydF4y2Ba= 1gydF4y2BaBgydF4y2Ba．这是写的gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba≅gydF4y2BaBgydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba而且gydF4y2BaBgydF4y2Ba它们被称为同构的，这意味着它们在本质上具有相同的结构，并且不需要区分它们。由于数学实体是范畴的对象，所以它们只能归于同构。他们传统的集合理论结构，除了在显示一致性方面有用外，实际上是无关紧要的。gydF4y2Ba

例如，在通常的结构中gydF4y2Ba环gydF4y2Ba的gydF4y2Ba整数gydF4y2Ba，一个整数被定义为等价类的对(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba，gydF4y2BangydF4y2Ba)，其中(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba，gydF4y2BangydF4y2Ba)等价于(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba′,gydF4y2BangydF4y2Ba’)当且仅当gydF4y2Ba米gydF4y2Ba+gydF4y2BangydF4y2Ba' =gydF4y2Ba米gydF4y2Ba' +gydF4y2BangydF4y2Ba．的等价类的思想是(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba，gydF4y2BangydF4y2Ba)被视为gydF4y2Ba米gydF4y2Ba−gydF4y2BangydF4y2Ba．然而，对范畴主义者来说重要的是，整数的环ℤ是环和范畴中的初始对象gydF4y2Ba同态gydF4y2Ba-也就是说，每一个环ℝ有一个gydF4y2Ba独特的gydF4y2Ba同态ℤ→ℝ。从这种角度看，ℤ只能归结为同构。基于同样的精神，不应该说ℤ包含在有理数的字段ℚ中，而应该说同态ℤ→ℚ是一对一的。同样地，谈论π和的集合理论交点是没有意义的gydF4y2Ba的平方根gydF4y2Ba√gydF4y2Ba－1gydF4y2Ba，如果两者都表示为集的集的集(直到无限)。gydF4y2Ba

在基金会和其他地方特别感兴趣的是gydF4y2Ba伴随函子(gydF4y2BaFgydF4y2Ba，gydF4y2BaGgydF4y2Ba)．These are pairs of functors between two categories and ℬ, which go in opposite directions such that a one-to-one correspondence exists between the set of arrowsFgydF4y2Ba（gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)→gydF4y2BaBgydF4y2Ba在ℬ和箭头集合中gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba→gydF4y2BaGgydF4y2Ba（gydF4y2BaBgydF4y2Ba)即，使得集合是同构的。gydF4y2Ba

传统的主题gydF4y2Ba理论gydF4y2Ba

范畴论的最初目的是精确地确定某些技术概念gydF4y2Ba代数gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba拓扑结构gydF4y2Ba并以一种优雅而统一的方式呈现不同数学领域的关键结果，但很快就清楚了范畴在数学基础中扮演着重要的角色。这一观察在很大程度上是这位美国数学家的贡献gydF4y2BaF.W.劳维尔(生于1937年)，他详细阐述了gydF4y2Ba开创性的gydF4y2Ba这位德国出生的法国数学家的作品gydF4y2Ba亚历山大GrothendieckgydF4y2Ba(生于1928年)gydF4y2Ba代数几何gydF4y2Ba．他曾一度考虑使用(小)范畴(和函子)本身作为数学的基础。虽然他没有放弃这个想法，但后来他提出了集合(和映射)范畴的泛化。gydF4y2Ba

在集合范畴的属性中，Lawvere挑出了一些关键的属性，这里只提到了其中的两个:gydF4y2Ba

  1. 子集之间是一一对应的gydF4y2BaBgydF4y2Ba的gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba和他们的gydF4y2Ba特征gydF4y2Baχ∶gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba→{gydF4y2Ba真的,假的gydF4y2Ba}，其中为每个元素gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba的gydF4y2Ba一个gydF4y2Baχ(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba） =gydF4y2Ba真正的gydF4y2Ba当且仅当gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是在gydF4y2BaBgydF4y2Ba．gydF4y2Ba
  2. 给定一个元素gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba的gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba和一个gydF4y2Ba函数gydF4y2Ba hgydF4y2Ba∶gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba→gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba，有独特的功能gydF4y2BafgydF4y2Ba∶ℕ→gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba这样gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BangydF4y2Ba） =gydF4y2BahgydF4y2Ba ngydF4y2Ba（gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

适当地公理化，具有这些属性的范畴称为(基本)拓扑。然而，一般来说，两元集{gydF4y2Ba真的,假的gydF4y2Ba}必须由具有两个以上真值的对象Ω替换，尽管指向Ω的箭头仍然被标记为gydF4y2Ba真实的。gydF4y2Ba