数学的基础gydF4y2Ba
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形式主义gydF4y2Ba

罗素的发现一个隐藏的矛盾在弗雷格的形式化gydF4y2Ba集理论gydF4y2Ba的帮助下,他的简单理解方案,使一些数学家想知道可以确保没有其他矛盾的存在。希尔伯特的项目,称为形式主义,是专注于正式的语言gydF4y2Ba数学gydF4y2Ba并研究其gydF4y2Ba语法gydF4y2Ba。尤其是数学的一致性,这可能是,例如,数学表述的metamathematical断言0 = 1不是可证明的,应当metatheorem-that,语法的可证明的数学。这个规范化项目只有在有意义的语法数学是一致的,否则每语法语句将可证明的,包括那些声称数学的一致性。gydF4y2Ba

不幸的是,哥德尔的结果gydF4y2Ba不完备定理gydF4y2Ba是数学的一致性可以证明只有在一种语言比数学本身的语言。然而,形式主义不是就坐在事实上,最纯粹的数学家是隐性formalists-but天真的尝试证明数学的一致性在弱系统了。gydF4y2Ba

虽然没有人,除了一个直觉主义的极端,会否认数学语言的重要性,大多数数学家也是哲学的现实主义者认为,这种语言的言语表示现实世界中的实体。后,瑞士数学家保罗·伯奈斯(1888 - 1977),这个职位也叫柏拉图主义,gydF4y2Ba柏拉图gydF4y2Ba相信数学实体存在。gydF4y2Ba

哥德尔gydF4y2Ba

隐式的gydF4y2Ba希尔伯特的程序一直希望可证迷的语法概念捕捉语义的概念真理。哥德尔想出了一个惊人的发现,这不是理由类型理论和相关的语言适合gydF4y2Ba算术gydF4y2Ba,只要坚持以下假设:gydF4y2Ba

  1. 的gydF4y2Ba集gydF4y2Ba定理(可证明的语句)的有效可列举的,美德的概念gydF4y2Ba证明gydF4y2Ba可决定的。gydF4y2Ba
  2. 真正的语句的集合的数学是ω-complete以下感觉:任何公式给出ϕ(gydF4y2BaxgydF4y2Ba),包含一个自由变量gydF4y2BaxgydF4y2Ba类型的gydF4y2BaNgydF4y2Ba,通用语句∀gydF4y2BaxgydF4y2Ba∊gydF4y2BaNgydF4y2Baϕ(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)将是真的如果ϕ(gydF4y2BangydF4y2Ba)是正确的gydF4y2Ba数字gydF4y2Ba ngydF4y2Ba也就是,gydF4y2BangydF4y2Ba= 0,gydF4y2BangydF4y2Ba=gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba0,gydF4y2BangydF4y2Ba=gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba0,等等。gydF4y2Ba
  3. 语言是一致的。gydF4y2Ba

实际上,哥德尔也有所增强的假设,,美国数学家j·巴克利伐木工人后显示,可以被假设的一致性所取代。哥德尔gydF4y2Ba巧妙的gydF4y2Ba论点gydF4y2Ba是基于语法的观察陈述可以翻译成数学语言语句的算术,因此数学的语言。部分的灵感来自一个论点,据说可以追溯到古希腊,是这样的:埃庇米尼得斯说,所有的克里岛人都是gydF4y2Ba骗子gydF4y2Ba;埃庇米尼得斯是一个;因此埃庇米尼得斯是一个骗子。根据假设1和2,哥德尔建造了一个数学表述gydF4y2BaggydF4y2Ba这是正确的但不是可证明的。如果假设所有定理都是真的,没有遵循gydF4y2BaggydF4y2Ba也不是¬gydF4y2BaggydF4y2Ba是一个gydF4y2Ba定理gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

没有数学家怀疑假设1;通过观察一个传说中的一个定理的证明,适当的形式化,数学家是可能的,甚至是一台电脑,要判断这是一个证明。通过列出所有证据,字母顺序,一个有效的枚举所有的定理。古典数学家也接受假设2,因此不情愿地同意哥德尔,希尔伯特的期望相反,有真正的非可证明的数学陈述。gydF4y2Ba

然而,gydF4y2Ba温和的直觉主义的可以画一个不同gydF4y2Ba结论gydF4y2Ba,因为他们没有致力于假设2。对他们来说,普遍的真理声明∀gydF4y2BaxgydF4y2Ba∊gydF4y2BaNgydF4y2Baϕ(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)可以只知道如果ϕ的真相(gydF4y2BangydF4y2Ba)是已知的,对于每一个自然数gydF4y2BangydF4y2Ba,以统一的方式。这不会是这种情况,例如,如果ϕ的证明(gydF4y2BangydF4y2Ba)增加难度,因此在长度gydF4y2BangydF4y2Ba。温和的直觉主义的可能因此真理认同可证迷而不被打扰的事实gydF4y2BaggydF4y2Ba也不是¬gydF4y2BaggydF4y2Ba是真的,因为他们不会相信的原则吗gydF4y2Ba被排除在外gydF4y2Ba第三在第一时间。gydF4y2Ba

直觉主义的一直相信,声明是真实的,它必须是可知的真理。此外,适度的直觉主义的可能承认形式主义者说,声明被认为是真正的说已经证明。尽管如此,一些直觉主义的不接受上述论点。说数学是独立于语言的,直觉主义的国家,在哥德尔metamathematical他不完备定理的证明,建立一个普遍的真理声明援引ω-completeness收益率统一证明后者。gydF4y2Ba

哥德尔认为自己是一个柏拉图学派的人,因为他相信gydF4y2Ba概念gydF4y2Ba绝对的真理。他理所当然,许多数学家,ω-complete真正的语句的集合。其他的逻辑学家更加怀疑,想取代真理的真理的概念模型。事实上,哥德尔,在他的完备性定理,表明数学表述的可证明的必要且充分的,它是真实的在每一个模型。他现在不完备定理表明,真理在每个ω-complete只是模型是不够的。稍后将返回,作为模型的概念类型理论是最容易的帮助下制定分类理论,尽管这不是哥德尔本人进行的方式。gydF4y2Ba见下文gydF4y2Ba哥德尔和分类理论gydF4y2Ba。gydF4y2Ba