Georg康托尔

Georg康托尔，全文乔治·费迪南德·路德维希·菲利普·康托(生于1845年3月3日，圣彼得堡他死于1918年1月6日，哈雷德国数学家，他创立了集理论并介绍了数学意义概念的无限的数字，无限大，但彼此不同。

早期生活和训练

康托的父母是丹麦人。他的母亲是个艺术家，是罗马天主教徒，出身于一个音乐世家;他的父亲是个新教徒，是个富商。1856年，他的父亲生病了，全家搬到了法兰克福。康托的数学天赋在他15岁生日之前就显现出来了，当时他在私立学校学习文理中学在达姆施塔特先是在威斯巴登，然后是在威斯巴登;最终，他克服了父亲的反对，父亲希望他成为一名工程师。

在短暂就读Zürich大学后，康托尔于1863年转学至柏林大学为了专攻物理学，哲学,数学．在那里，数学家教他卡尔·维尔斯特拉斯他的分析专业可能对他的影响最大;恩斯特·爱德华·库默，在高等算术中;而且利奥波德克罗内克他是数论方面的专家，后来反对他。一个学期之后Göttingen大学1866年，康托撰写了他的博士论文论文在1867年,第二不定方程(《关于二次不定方程》)，关于一个问题卡尔·弗里德里希·高斯在他心中留下了什么探讨Arithmeticae(1801)。在柏林一所女子学校做了一段短暂的教学任务后，康托尔在黑尔大学任教，并在那里度过了余生。1869年，他先是担任讲师(只收学费)，1872年担任助理教授，1879年担任正教授。

在1869年至1873年的10篇系列论文中，康托首先研究了数论;这篇文章反映了他自己对这个主题的迷恋，他对高斯的研究，以及克罗内克的影响。康托尔在黑尔学院的同事海因里希·爱德华·海涅(Heinrich Eduard Heine)认出了他的能力，在他的建议下，康托尔转向了理论三角级数，他在书中扩展了实数的概念。从三角级数和函数的复杂的变量由德国数学家所作Bernhard黎曼1854年，康托尔在1870年证明了这样一个函数只能用三角级数的一种方式表示。考虑收集数字(点)，这与这样的表示不冲突，导致他首先在1872年，用有理数的收敛序列(整数的商)定义无理数，然后开始他的主要工作，集理论和超有限数的概念。

集理论

重要的书信往来理查德绰金他是康托尔一生的朋友和同事，标志着康托尔关于集合论思想的开端。双方都同意集,无论有限的或无限，是对象的集合(例如，整数{0，±1，±2，…})，它们共享特定的属性，而每个对象都保留自己的个性。但是当康托尔应用一一对应的方法(例如，{a, b, c}到{1,2,3})来研究集合的特征时，他很快就发现它们在成员的程度上是不同的，甚至在集合之间也是如此无限集。(一个集合是无限的，如果它的一个部分或子集有和它本身一样多的对象。)他的方法很快产生了惊人的效果。

1873年康托证明了有理数虽然是无限的，但也是可数的(或可数的)，因为它们可以与自然数一一对应(即整数，如1,2,3，…)他证明了的集合(或集合)实数(由无理数和有理数组成)是无限的、不可数的。更矛盾的是，他证明了所有代数的数字包含的分量与所有整数和that的集合一样多先验的数字(非代数的数字，如π)，它们是无理数的子集，是不可数的，因此比整数要多，而整数必须被认为是无限的。

但是康托第一次提出这些结果的论文被拒绝发表Crelle的杂志而克罗内克从此强烈反对他的作品。然而，在Dedekind的干预下，它在1874年被发表为“Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”(“关于所有实代数数的一个特征性质”)。

同年，他与新娘瓦利·古特曼在因特拉肯度蜜月时，瑞士，康托尔遇到了迪德金德富有同情心的听听他的新理论。康托尔的工资很低，但他1863年去世的父亲的遗产使他能够为妻子和五个孩子建造一所房子。他的许多论文发表在瑞典在新杂志中数学学报，由Gosta米塔格-莱弗勒他是最早认识到自己能力的人之一。

康托的理论成为一个全新的研究无限数学的课题(例如，无穷级数，如1,2,3，…，甚至更复杂的集合)，他的理论在很大程度上依赖于一对一对应的装置。从而发展了新的提问方式连续性而且∞在美国，康托很快就引起了争议。当他论证无限数具有实际存在时，他引用了古代的和古代的中世纪的关于“实际的”和“潜在的”无限的哲学，以及早年父母对他的宗教训练。在他关于片场的书中，Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre(“集合的一般理论的基础”)，康托在1883年将他的理论与柏拉图式的形而上学．相比之下，克罗内克认为只有整数“存在”(“整数是上帝创造的，其余的都是人类的工作”)，多年来强烈反对他的推理，并阻止他被任命为柏林大学的教员。

无限的数字

在1895-97年康托充分提出了他的观点连续性而无穷，包括无穷序数和红衣主教在他最著名的作品中，Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre(以英文标题出版对创立超有限数理论的贡献, 1915)。这部作品包含了他的概念他通过证明一个无限集可以与它的一个子集一一对应而得出了这一结论。他所说的最小的超有限基数是指可以与正整数一一对应的任何集合的基数。他把这个超有限数称为alpha -null。更大的超有限基数用alpha - 1、alpha - 2、....表示然后他提出了一种超有限数的算术类似的到有限算术。因此，他进一步丰富了无限的概念。他所面临的反对，以及他的想法完全实现之前的漫长时间同化在一定程度上反映了数学家在重新评估“什么是数”这个古老问题时的困难。康托尔证明了直线上的点的集合具有比alalpha -null更高的基数。这导致了著名的问题连续统假设也就是说，在alalpha -null和直线上的点的基数之间没有基数。这个问题引起了数学界的极大兴趣，后来许多数学家都研究了这个问题，包括捷克奥地利裔美国人库尔特·哥德尔而美国人保罗•科恩．

虽然精神疾病从大约1884年开始，康托在他生命的最后几年一直在积极地工作。1897年，他帮助召开在苏黎世第一届国际数学大会。在一定程度上，由于受到克罗内克的反对，他经常同情年轻的、有抱负的数学家，并设法确保他们不会像他一样，因为那些根深蒂固的教员感到受到了新思想的威胁。在世纪之交，他的工作被充分认为是发展函数理论、分析和数学的基础拓扑结构．此外，他的工作刺激直观主义学派和形式主义学派在数学逻辑基础上的进一步发展;它极大地改变了美国的数学教育美国并经常与“新数学”联系在一起。