自1900年以来的逻辑

的早期发展逻辑1900年之后是基于19世纪后期的工作Gottlob弗雷格,朱塞佩皮亚诺,Georg康托尔等等。不同的研究被一般努力统一使用符号(有时被称为数学,或正式)技术。渐渐地,这个研究导致的深刻变化的逻辑是什么。

命题和谓词逻辑

最早的一些发展阶段发生在命题逻辑,也叫了命题演算。逻辑连接词结合(”和“)、分离(”和“),否定,条件(“如果…那么”),和双条件的(“当且仅当”),象征着由&(或∙),∨,~,⊃,≡,分别被用来形成复杂的命题从简单的,最终不能进一步分析命题的命题。连接词interdefinable;例如,(A和B)相当于~ (∨~ ~ B);(∨B)相当于~ (B ~ & ~);和(⊃B)相当于(~∨B)。在1913年,美国逻辑学家亨利·m·Sheffer显示所有truth-functional连接词可以定义一个连接,被誉为“Sheffer中风”,它的力量了否定结合。(否定分离可以服务于同样的目的)。

Sheffer的结果,以及大多数其他命题逻辑,是基于对命题连接词作为真值函数。一个连接是truth-functional如果可以描述它的意义的方式真实价值(真或假)的复杂的句子是用来构造取决于组件的真实值表达式。因此,(A和B)是正确的,当且仅当A和B都是真的;(∨B)是正确的,当且仅当至少一个A和B是正确的;~是真的当且仅当一个是假的;和(A⊃B)是正确的,除非是真的和B是错误的。这些truth-functional依赖项可以表示系统的图称为真理表:

虽然将命题连接词作为真值函数的概念是弗雷格,哲学家强调最强烈的是谁路德维希维特根斯坦。真值函数中使用布尔代数,这是基本的现代设计集成电路(见上图布尔和德摩根)。

不同于命题逻辑,谓词逻辑(或谓词演算)治疗谓词和名词而不是命题作为原子单元。谓词逻辑中引入了弗雷格,最重要的符号存在主义和通用量词,(∃x)和(∀y),这是普通语言的逻辑对应词的东西或一个人(存在量词)和一切或每一个人(全称量词)。“范围”的量词是表示由一对括号后,如(∃x)(…)或(∀y)(…)。通常的逻辑符号也包括身份的象征,“=”,加上一组谓词,传统F开头的大写字母,这是用来表达属性或关系。量词中的变量,通常x,y,z象逐字的代词。因此,如果“R”代表财产”……是红色的”,那么(∃x)(Rx)意味着“有一个x这样,它是红色的”或简单的“东西是红色的。“同样,(∀x)(Rx)意味着“为每一个x,它是红色的”或简单的“一切都是红色的。”

在最简单的应用程序中,量词申请,或者”范围内,“个体在给定群基本对象,称为“论域。”弗雷格、逻辑的逻辑数学原理量词也包括所谓的“高阶”对象,如集(或类)的个人,个人属性和关系,组套个人、属性和关系的属性和关系,等等。最终,只处理逻辑系统量化在个人与其他系统成为了基本逻辑的一部分,被称为一阶谓词逻辑,量化理论,或较低的谓词演算。逻辑系统还允许在高阶量化的实体被称为高阶逻辑。这种分离的一阶高阶逻辑主要由完成大卫希尔伯特和他的同事在20世纪的第二个十年;阐述了在Grundzuge der Theoretischen逻辑学(1928);“理论逻辑的基本元素”)由希尔伯特和威廉•阿克曼。

一阶逻辑是基于某些重要的假设。其中一个是自然语言动词是是用模棱两可的。它可以表达(1)预测,如“泰山是金发,”的逻辑(象征性的)形式B (t),(2)简单的标识,如“克拉克·肯特(相同)超人,”这样的句子表达的“c =年代”(3)的存在,就像在“宙斯,”或“宙斯存在,”形式(∃x)(x= z),或“有一个x这样x宙斯(相同)”,(4)类包涵,比如“鲸鱼是一种哺乳动物,”的形式(∀吗x)(W (x)⊃米(x),或“x,如果x是一条鲸鱼,然后x是哺乳动物。”

这模棱两可声称是20世纪的逻辑特征。相比之下,没有哲学家在19世纪之前承认这种模棱两可,虽然一般都承认,动词有不同的用途。

数学原理及其后果

一阶逻辑是不能表达所有使用的概念和推理模式数学;equinumerosity (equicardinality)和∞例如,不能表达的意思。出于这个原因,20世纪最著名的工作逻辑,数学原理(1910 - 13)伯特兰·罗素和怀德海,采用高阶逻辑的一个版本。这项工作的目的是,正如前面所讨论的(见上图Gottlob弗雷格),暴露mathematics-i.e的逻辑基础。显示的基本概念和推理模式中使用数学可定义在逻辑方面。继弗雷格、罗素和怀特黑德提议来定义数量一个类的类的类equinumerous。这个定义计算暗示,除此之外,所有通常的公理算术,包括皮亚诺假设治理结构的自然数。减少算术逻辑被送往需要减少所有数学逻辑,自算术化的分析在19世纪已经减少了大部分的数学运算。然而,罗素和怀特黑德超越算术系统大量的重建集理论然后它存在。

该系统设计了弗雷格是罗素所示包含一个矛盾,这被称为罗素悖论。罗素指出,弗雷格的假设隐含所有集合的集合的存在不是自己(S)的成员。如果一组的成员,那么它不是,如果它不是一个年代的成员,那么它就是。为了避免这种矛盾,罗素的概念引入“逻辑类型。”的基本理念是,一套年代特定的逻辑类型T可以包含的成员只有实体类型低于T .这个想法实现在后来被称为“简单”理论的类型。

罗素和怀特黑德尽管如此认为悖论的一种更广泛的结果恶性循环,当一个对象被定义的量词,其值包括定义的对象本身。罗素的悖论本身包含了这样一个self-referring,或“非断言,“定义;避免他们的禁令被罗素称为“恶性循环原则。“这是由罗素和怀特黑德实现更为复杂的高阶对象的类型结构,导致被称为“分歧的理论”的类型。此外,为了显示所有常见的数学可以在他们的系统中,罗素和怀特黑德被迫介绍一个特殊的假设,可约性公理,这意味着部分分歧的崩溃层次结构。

虽然数学原理是一个令人印象深刻的成就,它不满足每一个人。这部分是因为无可否认的特设的本质分歧类型理论的一些特性也和更重要的是,因为系统是基于一个不完整的理解高阶逻辑或,当它还表示,一个不完整的理解的意义概念如“类”和“概念”。

1920年代,年轻的英国逻辑学家和哲学家弗兰克·拉姆齐显示系统如何数学原理可以修改通过纯粹的外延的高阶对象等属性,关系,类,通过定义纯粹的对象的应用或它们所包含的对象。的悖论恶性循环类型的自动避免,和整个分歧的层次变得可有可无的,包括还原性的公理。罗素和怀特黑德做了一些变化沿着这些线路的第二版原理但没有完全执行的新方法。

拉姆齐指出两个量化的方法在类(通常和高阶量化)可以被理解。一方面,“类”意味着所有可能外延性类,或类可定义的成员通常给定类的所有子类。但它也意味着所有类别的一种,通常在一个给定的语言可定义的所有类。这种区别于1950年首次正式的研究由美国逻辑学家Leon Henkin谁叫第一个解释“标准”,第二个“标准。”的标准和非标准的解释高阶量词之间的区别是非常重要的分水岭在逻辑和数学的基础。

即使撇开分歧类型的理论,这是一个有趣的问题多少纯粹的非断言方法建设的实体实体的某种逻辑类型相同或更高的逻辑类型可以实现逻辑。它研究了由美国逻辑学家所罗门Feferman,等等。