∞

∞这是一种无限的、无止境的、没有界限的概念。“无穷”的常用符号“∞”是由英国数学家发明的约翰·沃利斯在1655年。无限有三种主要类型:数学的、物理的和物理的形而上学的。例如，数学上的无穷是指连续的点数行或者无穷无尽数列的大小:1,2,3，....无限的空间和时间概念出现在物理当有人问是否有无限多颗恒星或者是否宇宙会持续到永远。在关于上帝或绝对的形而上学讨论中，存在一个终极实体是否必须存在的问题无限更小的东西是否也可以是无限的。

数学无穷大

古希腊人用“无限”这个词来表示apeiron，其中有内涵无限的，不确定的，没有定义的，没有形式的。无限最早的表象之一数学把比在对角线和正方形的边线之间。毕达哥拉斯(c。580 - 500公元前)和他的追随者们最初认为，世界的任何方面都可以用一种只涉及整数的排列来表示(0,1,2,3，…)，但他们惊讶地发现，正方形的对角线和边线是相同的不可通约的也就是说，它们的长度不能都表示为任何共享单位(或测量棒)的整数倍数。在现代数学中，这一发现用比率来表示非理性的这就是限制一个无穷无尽的，不重复的十进制数列。对于边长为1的正方形，对角线为的平方根√2，写为1.414213562省略(…)表示无穷无尽的数字序列，没有模式。

这两个柏拉图(428/427-348/347公元前),亚里士多德(384 - 322公元前)和希腊人一样，对无限的概念深恶痛绝。亚里士多德对“实际的”无限(空间的、时间的或数字的)的排斥影响了后来一千多年的思想，他将“实际的”无限与“潜在的”无限区分开来，即能够无休止地计数。为了避免使用实际的无穷大，克尼德斯的欧多克索斯(c。400 - 350公元前),阿基米德(c . 285—212/211公元前)开发了一种技术，后来被称为用尽方法，即通过在连续阶段将测量单位减半来计算面积，直到剩余面积低于某个固定值价值(剩余的区域已经“耗尽”)。

无限小的问题导致了的发现微积分在17世纪晚期被英国数学家发现艾萨克·牛顿德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨。牛顿提出了他自己的无限小数理论无穷小，以证明的计算衍生品，或斜率。为了求出斜率，也就是y除以x)表示在某一点与曲线相接的直线(x，y)时，他发现观察两者之间的比率很有用dy而且dx,在那里dy是一个无穷小的变化y由微小的移动而产生的dx从x。无穷小理论受到了严厉的批评，早期的分析史大部分都围绕着为这一学科寻找另一种严谨的基础而展开。无穷小数的使用终于随着数学的发展而获得了坚实的基础非标准分析德国出生的数学家亚伯拉罕·罗宾逊在20世纪60年代。

在数学中对无穷大的更直接的使用是在比较无穷大的大小时出现的无限集，例如集由直线上的点组成(实数)或计数数字的集合。数学家们很快就被这一事实所震惊直觉当谈论无限大的时候，关于数字的说法是误导人的。中世纪的思想家们意识到一个矛盾的事实，即不同长度的线段似乎有相同数量的点。例如，画两个同心圆，其中一个半径是另一个的两倍(因此周长是另一个的两倍)，如图所示数字。令人惊讶的是，每一点P外圆上可以搭配一个独特的点P，从它们的共同中心画一条线O来P标记它与内圆的交点P”。直觉这表明外圆的点数应该是内圆的两倍，但在这种情况下，无穷大似乎和两倍无穷大是一样的。十七世纪早期，意大利科学家伽利略解决了这个问题和一个类似的非直观的结果，现在被称为伽利略的结果悖论。伽利略证明了计数数的集合可以与它们的明显小得多的平方集合一一对应。他同样证明了计数数的集合和它们的双数(即偶数的集合)是可以成对的。伽利略的结论是:“我们不能把无限大的量说成是大于或小于或等于另一个量。”这些例子启发了这位德国数学家理查德绰金在1872年提出了一个定义无限设置为一个可以与某个合适的子集建立一对一关系的集合。

关于无穷数的困惑被这位德国数学家解决了Georg康托尔从1873年开始。首先，康托严格地证明了有理数(分数)的集合与计数数的大小相同;因此，它们被称为可数的或可数的。当然，这并不令人震惊，但同年晚些时候，康托尔证明了一个令人惊讶的结果:并非所有无穷大都是相等的。康托使用所谓的“对角线论证”，证明计数数的大小严格小于实数的大小。这个结果被称为康托定理。

为了比较集合，康托尔首先区分了具体集合和抽象集合概念它的大小，或者基数。与有限集不同的是，无限集可以与自身的适当子集具有相同的基数。康托尔使用对角线参数表明，任何集合的基数都必须小于其幂集的基数。，即包含给定集合的所有可能子集的集合。一般来说，一个集合nElements的幂集为2ⁿ元素，这两个基数是不同的n是无限的。康托把他的无限集合的大小称为“超有限基数”。他的论点表明，存在无限多不同大小的超有限基数(例如计数数集的基数和实数集的基数)。

超有限基数包括alalpha -null(整数集的大小)、alalpha - 1(下一个更大的无穷大)和连续体(实数的大小)。这三个数字也可以写成ℵ₀,ℵ₁,c,分别。定义ℵ₀小于ℵ₁，并由康托定理ℵ₁小于或等于c。还有一个叫做选择公理,证明康托尔定理的方法可以用来确保一个无限的超有限基数序列继续超过ℵ₁到诸如ℵ这样的号码₂和ℵ_ℵ0。

连续统问题是关于哪个alephs等于连续统的基数的问题。康托是这样推测的c=ℵ₁；这就是康托的作品连续统假设(CH)。CH也可以被认为表示直线上的任何点集必须是可数的(大小小于或等于ℵ)₀)或必须有一个与整个空间一样大的大小c）.

在20世纪初，一个完整的无限集理论发展起来了。这个理论被称为ZFC，代表Zermelo-Fraenkel集合理论用选择公理。根据ZFC中的公理可知CH是不可定的。1940年，奥地利出生的逻辑学家库尔特·哥德尔能够证明ZFC不能证伪CH, 1963年，美国数学家保罗•科恩表明ZFC不能证明CH。集合理论家继续探索以合理的方式扩展ZFC公理的方法，以解决CH。最近的工作表明CH可能是假的，并且真实的大小c可能是更大的无穷大ℵ₂。