平面几何

三角形的同余

两个三角形据说是相等的如果一个可以通过刚性运动精确地叠加在另一个上，并且同余定理指定了可以发生这种情况的条件。第一个这样的定理是边角边(SAS)定理:如果一个三角形的两条边和夹角等于另一个三角形的两条边和夹角，则三角形为相等的．在此之后，有相应的角边角(ASA)和边边边(SSS)定理。

从公理中推导出的第一个非常有用的定理是基本定理对称等腰三角形的性质。，that two sides of a triangle are equal if and only if the angles opposite them are equal.欧几里德几何学的这个定理的证明曾被称为Pons Asinorum ("驴桥)，这大概是因为平庸的学生们无法越过它，到达更远的地方几何．(为了说明证明，看到边栏:屁股桥)。驴桥为三角形同余的各种定理开辟了道路。

的平行公设是证明三角形内角之和为180度定理的基础。这个定理的一个简单证明是由毕达哥拉斯学派．

相似三角形的

如上所述，相同的图形具有相同的形状和大小。另一方面，相似的图形具有相同的形状，但可能在大小上有所不同。形状与概念成比例地，如古埃及工匠们很久以前就观察到。长度段一个，b，c,d是否成正比一个：b＝c：d(读、一个是b作为c是d；在旧的符号中一个：b：：c：d)．的相似基本定理声明行当且仅当线段与三角形的第三条边平行时，线段将三角形的两条边分成成比例的段。

相似定理可以重新表述为AAA(角-角-角)相似定理:两个三角形的同位角相等当且仅当它们的同位边成比例。两个相似的三角形由一个比例(或相似度)因子联系在一起年代:如果第一个三角形有边一个，b,c，那么第二个就会有两面年代一个，年代b,年代c．除了无处不在的在建筑平面图和地理地图上使用比例因子，相似性是三角学的基础。

区域

就像一个线段可以通过与单位线段的比较来测量一样，a的面积多边形或其他平面图形可以通过与单位比较来测量广场．常用的面积计算公式将这种测量简化为一定合适长度的测量。最简单的情况是有边的矩形一个而且b，面积为一个b．把一个三角形放入一个适当的矩形中，就可以看出三角形的面积是其中一个底的长度与它相应的高的乘积的一半bh/ 2。然后，我们可以通过将一个普通多边形分割成三角形区域来计算它的面积。如果一个三角形(或更一般的图形)有面积一个，一个比例因子为的相似三角形(或图形)年代面积是年代²一个．

勾股定理

对于三角形△一个BC的勾股定理有两部分:(1)如果∠一个CB那么，这是个直角吗一个²+b²＝c²；(2)如果一个²+b²＝c²，那么∠一个CB是直角。对于一个任意的三角形时，勾股定理推广到余弦定理:一个²+b²＝c²−2一个bcos(∠一个CB)．当∠一个CB是90°，这可以归结为勾股定理因为cos(90°)= 0。

自欧几里得以来，一大批专业和业余数学家(甚至美国总统詹姆斯·加菲尔德)已经发现了300多个毕达哥拉斯定理的不同证明。尽管它很古老，但它仍然是最重要的定理之一数学．它使人们能够计算距离，更重要的是，可以在比初等几何更一般的情况下定义距离。例如，它已经被推广到多维向量空间．

圈

一个和弦一个B一段是在一个内部圆连接两点(一个而且B)在圆周上。当一个和弦穿过圆的中心时，它就是一个弦直径，d．圆的周长由π给出d，或2πr在哪里r是圆的半径;圆的面积是πr²．在每种情况下，π是相同的常数(3.14159…)。希腊数学家阿基米德(c . 287—212/211公元前)使用用尽方法通过限定和刻划得到π的上界和下界常规的多边形大概一个圆。

半圆的端点在圆的直径上。泰利斯公司(兴盛于6世纪)公元前)一般为认为证明了半圆内的任何角都是直角;也就是说，对于任何一点C在有直径的半圆上一个B,∠一个CB将始终是90度(看到边栏:泰利斯矩形)．另一个重要的定理指出，对于任何和弦一个B在圆中，同一半圆弧上任何一点的夹角都是不变的。稍微修改一下，这意味着在一个圆中，相等的和弦决定相等的角度，反之亦然。

综上所述，平面欧几里得几何的五个最重要的定理是:三角形内角之和为180度、驴桥、相似基本定理、毕达哥拉斯定理、圆中弦所对应的角的不变性。平面欧几里得几何中大多数较高级的定理都是借助这些定理得到证明的。

常规的多边形

边角相等的多边形称为正多边形。因此，正三角形是等边三角形，正四边形是正方形。自古以来，一个普遍的问题就是如何构造正则n-gon，表示不同n他只有尺子和指南针。例如，欧几里得将上述五个重要定理巧妙地结合起来，构造了一个正五边形。

有一些技术，比如对已知结构的角度进行等分，用于构造规则n-gons用于许多值，但对于一般情况没有已知值。1797年，在经历了几个世纪毫无进展之后，高斯对数学感到惊讶社区通过发现一个17-gon的结构。更一般地，高斯能够证明质数p，普通的p-gon是可构造的当且仅当p是一个"费马'”:p＝F（k) = 2^2k+ 1。因为一般情况下不知道F（k)均为素数，施工问题为正则n-gons仍然打开。

19世纪，另外三个未解决的古代建筑问题最终通过使用希腊人无法使用的工具得到解决。比较简单的代数方法表明，不可能用尺子和圆规三等分一个角，也不可能构造一个角多维数据集体积是给定立方体的两倍。然而，要证明圆的平方是不可能的(即，用同样的方法构造一个与给定圆面积相等的正方形)，就需要对π数字的本质有更深入的了解。看到几何学:三个经典问题．

圆锥截面和几何艺术

平面欧几里得几何中最高级的部分是平面欧几里得几何的理论圆锥部分(椭圆,抛物线，以及双曲线)．就像元素取代了几何学的所有其他介绍圆锥曲线论的佩加的阿波罗尼乌斯(c。240 - 190公元前)，他被同时代的人称为“伟大的几何学家”，几个世纪以来一直是权威的论文关于这个话题。

中世纪的伊斯兰艺术家探索几何图形装饰的方法。例如，装饰阿尔罕布拉宫的格拉纳达在西班牙，展示对所有17种不同的“墙纸组”的理解，这些“墙纸组”可用于平铺平面。在20世纪，国际知名艺术家如约瑟夫阿尔伯斯，马克斯·比尔,索尔LeWitt都受到了欧几里得几何的启发。