连续统假设

连续统假设、语句的集理论的设置实数(连续)是在某种意义上尽可能小。1873年,德国数学家Georg康托尔证明了连续体uncountable-that,真正的数字更大∞比统计数字键导致开始集合论作为数学学科。此外,康托尔发明了一种大小的分类的方法无限集根据它的元素的数量,或其基数。(看到集理论:基数和超限的号码)。在这些方面,连续假设可以表示如下:连续的基数是最小的不可数的基数。

康托尔的符号,连续介质假设可以通过简单的方程表示2^ℵ₀=ℵ₁,ℵ₀的基数是什么无限可数集(如自然数的集合),和更大的基数”well-orderable集“ℵ₁,ℵ₂,ℵ…_α…,由序数索引。连续的基数可以等于2^ℵ₀;因此,连续统假设排除存在一组规模的中间和自然数之间的连续体。

更强的语句广义连续统假设(我们):2^ℵ_α=ℵ_{α+ 1}对于每一个序数α。波兰数学家Wacław Sierpiński我们可以推导出证明公理的选择。

与选择的公理,奥地利出生的美国数学家库尔特·哥德尔1939年证明了,如果其他的标准Zermelo-Fraenkel公理(ZF;看到的点击这里查看尺寸表表)是一致的,那么他们不反驳连续体假设,甚至我们。也就是我们添加到其他公理的结果保持一致。然后在1963年,美国数学家保罗•科恩完成了通过展示图片,再假设ZF是一致的,ZF不产生连续统假设的证据。

自ZF既不证实也不否定了连续介质假设,还有是否接受连续统假设的问题基于非正式的概念集。在数学答案一般社区负面:连续介质假设限制声明吗上下文没有理由实行限制。在集合论中,每个组分配基数ℵ幂集操作_α它的所有子集,基数2^ℵ_α。似乎没有理由限制各种子集,无限可能。