集理论

只是一个粗略的描述集理论这里给出。集合论是一个逻辑的类即:,的collections (finite or infinite) or aggregations of objects of any kind, which are known as the members of the classes in question. Some logicians use the terms “class” and “set” interchangeably; others distinguish between them, defining a集(例如)作为一个类,它本身就是一个成员的类,定义一个合适的类作为一个没有任何类的成员。通常是写∊为“属于”和缩写∼(x∊y)x∉y。指定一个特定的类可能是通过列出所有成员或陈述会员的一些条件,(后者)的情况下,类包含所有,只有那些满足条件(例如,使用它当一个伦敦居民说的类或类的素数)。显然,前者只可用方法有限的课,甚至可能很不方便;然而,后者是更普遍的适用性。具有完全相同的两个类成员被视为同一类或彼此是相同的,即使他们指定不同的条件;也就是说,身份类成员的身份,而不是指定的身份条件。这一原则被称为外延性的原则。一个类没有成员,比如类的无神论的教皇,据说是null。因为所有这些类的成员是相同的,只有一个零类因此,这是通常被称为的零类(或有时空类);它是象征着Λ或ø。的符号x=y用于“x是相同的,y”,∼(x=y)通常缩写为x≠y。表达式x=Λ因此意味着类x没有成员,x≠Λ意味着x至少有一个成员。

类本身就可能是一个类的成员。狗的类,例如,动物的物种类的成员。个体的狗,然而,虽然前类的一个成员,不是后者则是因为个体成员狗不是一种动物(如果狗数量的增加,物种的动物数量不会因此增加)。类成员因此而不是一个传递关系。的关系类夹杂物,然而(仔细区别类会员),传递。一个类x据说是包含在一个类y(写x⊆y)当且仅当每一个成员x也是一个成员的y。(这并不意味着排除的可能性x和y可能是相同的。)如果x是包含在,但并不相同,y即:,if every member ofx是一个成员y但是一些成员y不是成员x- - - - - -x据说是正确地包括在吗y(写x⊂y)。

这也许是自然的假设对于每个可以陈述的条件有一个类对象(null或其他),满足这个条件。这个假设被称为理解原理。不受限制的形式刚刚提到的,然而,这一原则被发现导致不一致,因此不能接受。一个可以陈述的条件,例如,non-self-membership-i.e。,的property possessed by a class if and only if it is not a member of itself. This in fact appears to be a condition that most classes do fulfill; the class of dogs, for example, is not itself a dog and hence is not a member of the class of dogs.

现在让它被假定类的所有类成员就可以形成自己的,让这个类y。然后任何类x会的一员吗y当且仅当它不是一个成员本身;也就是说,for any classx,(x∊y)≡(x∉x)。可以问的问题y属于自己,用以下尴尬的结果:如果是一个成员本身,那么它不能履行会员的条件吗y,因此它不是一个成员y即:,not a member of itself. On the other hand, ify不是本身的成员,那么它实现所需的条件,因此它属于y即:,的itself. Hence the equivalence (y∊y)≡(y∉y)的结果,这是自相矛盾的。这一令人费解的结论,指出了罗素,被称为罗素悖论。罗素的自己的解决方案,它和其他类似的困难作为类组成层次结构的类型并假定一个类只能被认为明智的一员,或非会员,类的上一级的层次结构。这一理论的影响x∊x,因此x∉x不规范的。然而,另一种解决方案是基于两种类型的类之间的区别之前,那些集和那些不是一个组被定义为一个类,它本身就是一些类的成员。的无限制的原理理解然后取而代之的是较弱的原则,为每个条件都有一个类的成员的个人或组,满足条件。其他解决方案也被设计了,但没有获得普遍接受,结果几个不同版本的集合理论在文学的主题。

形式上,集理论可以通过添加各种特殊公理,而温和的形式LPC的不包含谓词变量和只有一个原始的二元谓词常数(∊)代表会员。有时LPC-with-identity使用,然后有两个原始的二元谓词常数(∊和=)。在一些版本的变量x,y(…范围只有在集或类;在其他版本涉及个人。基础的特殊公理各有不同,但通常包括外延性的原则和一些限制形式的理解的原则,或者从这些可以推导出一些元素。

一个符号表示关于类的定理可以以不同的方式定义的(这里不详细)原语上面提到的或者单独介绍。一个广泛使用的主要元素符号如下:如果α是一个包含一些自由的表达x,{x:α}是用来代表对象的类实现α表达的条件。例如,{x:x是一个质数}代表类的质数;{x}表示类的唯一成员x;{x,y}的类的唯一成员x和y;等等。<x,y>是类的成员x和y这个顺序(因此,{x,y},{y,x}是相同的,但<x,y>和<y,x>一般不完全相同)。让x和y任何类,(例如)的点点画的两臂十字架上。的十字路口的x和y,象征着x∩y是常见的对象的类的成员x和y——这种情况下区域内的点武器cross-i.e。,{z:z∊x·z∊y}。类似地,联盟的x和y,象征着x∪y是类的成员的成员x在一起的y——这种情况下cross-i.e上所有的点。,{z:z∊x∨z∊y};的补充的x,象征,x是类的成员,都是这些对象的成员x即:,{y:y∉x};的补充的y在x,象征着x−y是类的所有对象的成员x但不是的y即:,{z:z∊x·z∉y};的通用类,象征着V,是类的所有成员,可定义为零class-i.e补的。,如-Λ。Λ本身是有时被视为原始个人常数,有时定义为{x:x≠x}——类的对象并不相同。

集合理论的简单的定理之一

• (∀x)(x∩x=x),
• (∀x)(∀y)(x∩y=y∩x);

∪相应定理:

• (∀x)(∀y)(∀z)[x∩(y∪z)= (x∩y)∪(x∩z)),
• (∀x)(∀y)((x∩y)= -x∪-y];

和相应的定理和∩∪互换:

• (∀x)(- - - - - - -x=x),
• (∀x)(∀y)(x- - - - - -y=x∩-y),
• (∀x)(Λ⊂x),
• (∀x)(x∩Λ=Λ),
• (∀x)(x∪Λ=x)。

在这些定理,在类的变量范围。在一些情况下,这是显而易见的类比的有效wffs个人电脑。

除了自己的内在兴趣,集合理论的重要性数学的基础人们普遍认为自然数可以充分定义集论的术语。此外,鉴于合适的公理,自然数的标准假设算术在集合理论可以导出定理。