PC的非标准版本

疑虑有时，一些公式在“正统的”PC中是有效的，这些疑虑导致一些逻辑学家构造了许多从不同方面偏离PC的命题演算。

普通PC的基础是一个直观的想法，即每个命题都是两者之一真正的或假这一思想的形式形式是规定变量只能有两个可能的值，即1和0。(由于这个原因，该系统通常被称为二值命题演算)这一想法受到了各种理由的挑战。根据…提出的建议亚里士多德在美国，一些逻辑学家坚持认为，关于那些将来可能发生或不可能发生的事件的命题既非真也非假，而是“中性的”真理价值．亚里士多德的例子引起了广泛的讨论，“明天将有一场海战。”英国哲学家也坚持这种观点斯特劳森爵士还有一些人认为，对于带有没有任何实际对应的主题的命题——例如“现任法国国王是明智的”(假设法国没有国王)或“约翰的所有孩子都睡着了”(假设约翰没有孩子)——“不存在”真假问题。另一种观点是第三个真值(比如，"半真半假”)应该被认为存在于真与假之间;因此，有人提出，某些我们所熟悉的天气状况，使得“正在下雨”这个命题既不是绝对真，也不是绝对假，而是介于两者之间。

以上例子所提出的问题无疑有很大不同，但它们都表明了一个问题三倍而不是一倍双重的命题的划分，因此逻辑的可能性，其中变量可以取三个值中的任何一个(例如1，¹/₂，和0)，并相应修订的标准PC帐户有效性．几个这样的三值逻辑已经被构建和研究;这里将简要介绍其中的一种，其中对附加价值(¹/₂)和“半真”一样，1和0代表真和假。编队规则与传统PC的规则相同，但运算符的含义被扩展到涵盖至少一个论点有价值¹/₂通过5个条目点击这里查看全尺寸表格表4。(领养了三个中的一个值在第一个论证中，p，在最左边的一列[1，¹/₂，或0]，对于二元操作符，则为第二个操作符的三个值之一，问，在第一行(在该行之上)，然后通过读取for来查找整个公式的值p下面是问)。我们可以看到，这些表格是由波兰逻辑学家发明的JanŁukasiewicz，当参数值为1和0时，与普通的双值参数相同。其他的值是直观的似是而非的扩展两值演算的基本原理，以涵盖涉及半真参数的情况。显然，这些表使人能够计算出一个确定的值(1，¹/₂，或0)对于任何wff，给定的值分配给其中的变量;WFF是有效的在这个微积分中，如果每个变量的赋值都是1。由于仅为变量赋值1和0时公式的值与普通PC中的值相同，因此在当前演算中有效的每一个wff在PC中也有效。一些在PC中有效的wffs，然而，现在不再有效。一个例子是(p∨∼p)，时间p有价值¹/₂，也有价值¹/₂．这反映了这样一种观点，即如果一个人承认一个命题有可能是半真，那么他就不能再坚持每一个命题都不受限制地认为它或它的否定是真。

给定表4中运算符的真值表，可以将∼和⊃作为原语，并将(α∨β)定义为[(α⊃β)⊃β]——尽管不像在普通PC中那样定义为(∼α⊃β);(α·β)为∼(∼α∨∼β);(α≡β)为[(α⊃β)·(β⊃α)]。根据给出的这些定义，所有由变量和∼、·、∨、⊃和≡构造的有效wff都可以是派生的通过代换和演绎推理从以下四个公理:

1. p⊃(问⊃p）
2. （p⊃问)⊃[(问⊃r)⊃(p⊃r）]
3. [（p⊃∼p)⊃p]⊃p
4. (∼p⊃∼问)⊃(问⊃p）

其他三值逻辑也很容易构建。例如，上面的表可能会被修改，以至于¹/₂，¹/₂⊃0,¹/₂≡0，和0≡¹/₂都是0而不是¹/₂和以前一样，其他一切都保持不变。同样的定义仍然是可能的，但有效公式的列表是不同的;例如,∼∼p⊃p，以前是有效的，现在有值¹/₂当p有价值¹/₂．这个系统也可以被成功地公理化。其他具有三个以上值的演算也可以按此构造类似的行。

其他非标准演算是由公理化而不是有效性定义开始构造的。其中，最著名的是直观的微积分，由。艾伦Heyting他是美国联邦政府的主要代表之一直觉主义的数学家学派，一群否认经典数学中某些类型证明有效性的理论家(看到数学，基础:直觉逻辑)．至少在某些情况下上下文这一学派的成员认为，证明一个命题的否定是错误的反证法)，认为不足以建立有关命题的真理。因此，他们认为∼p作为一个不充分的前提从中推断p并因此不接受的有效性双重否定定律形式为∼p⊃p．然而，他们确实认为这是一种证明p真如所示的否定吗p是虚假而因此接受吗p⊃∼∼p是有效的。由于有些类似的原因，这些数学家也拒绝接受基于数学的论点的有效性排除中律（p∨∼p)．直观演算的目的在于呈现公理形成那些且只有那些命题逻辑的原则在直觉数学中被认为是正确的。在本题中，∼、·、∨和⊃都是原语;和前面一样，变换规则是替换和方法;公理如下:

1. p⊃(p·p）
2. （p·问)⊃(问·p）
3. （p⊃问)⊃[(p·r)⊃(问·r）]
4. [（p⊃问)·(问⊃r)]⊃(p⊃r）
5. p⊃(问⊃p）
6. ［p·(p⊃问)]⊃问
7. p⊃(p∨问）
8. （p∨问)⊃(问∨p）
9. [（p⊃r)·(问⊃r)]⊃[(p∨问)⊃r］
10. ∼p⊃(p⊃问）
11. [（p⊃问)·(p⊃∼问)]⊃∼p

在此基础上p∨∼p也不是∼∼p⊃p可以推导出来吗p⊃∼∼p可以。在这方面，这种演算类似于上面描述的三值逻辑中的第二个。然而，不可能给出一个关于有效性的真值表——不管用了多少个值——来证明那些仅仅是直觉微积分定理而不是其他定理的正确性。