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谓词演算

命题也可能不是建立在其他命题之上，而是建立在本身不是命题的元素之上。这里要考虑的最简单的一类命题是这样的命题:在命题中，某个对象或个人(在广义上)被认为具有某种性质或特征;例如,“苏格拉底是明智的”和“数字7是?主要的这样的命题包含两个可区分的部分:(1)命名或命名的表达式指定一个个体和(2)一个表达式，称为a谓词，这个词代表那个人所拥有的财产。如果x，y，z，…被用作单独的变量(可由个人名称替换)和符号φ (phi)， ψ (psi)， χ (chi)，…as谓词变量(可由谓词替换)，公式φx用来表示所讨论命题的形式。在这里x据说是论点ϕ;一个谓词(或谓词变量)只有一个参数被称为a单细胞生物的，或一处，谓词(变量)。谓词有两个或两个以上的论点不是代表单个个体的属性，而是代表个体之间的关系。因此，命题“汤姆是约翰的儿子”可以分析为两个个体的名字(“汤姆”和“约翰”)和一个二元或二元谓词(" is a son of ")，它们是实参;因此，命题是φ的形式xy．类似地，“…is between…and…”是一个三位一体的谓词，需要三个参数，依此类推。一般来说，一个谓词变量后面跟着任意数量的单独变量是awff的谓词演算．这样的wff被称为an原子公式，其中的谓词变量称为度n,如果n是它后面单独变量的数量。谓词变量的程度有时用上标表示。,ϕxyz可以写成φ3.xyz；ϕ3.xy就会被认为是不成熟的。这种做法理论上更准确，但上标是常见的省略了为了在不容易产生混淆的情况下方便阅读。

原子公式可以与truth-functional运营商给出诸如φ的公式x∨ψy[示例:"客户(x)是友好的(n)或其他约翰(y)很失望(ψ)”];ψxy⊃∼ψx[示例:“如果道路(x)高于(n)洪水线(y)，那么路不湿(∼ψ)”];等等。然而，这样形成的公式当且仅当它们是的有效wffs的替换实例时才有效个人电脑因此在某种意义上不会超越电脑。的使用还形成了更有趣的公式量词．量词有两种:通用量词，写为“(∀)，或者通常简单地写成“()，其中空白由一个变量填充，该变量可以读为“For all””;而且存在量词，写为“(∃)，可读作“对某些人而言”或“有一个。这样。(“Some”可以理解为“至少一个”)因此，(∀x)ϕx是指“为了所有人?x，xis φ”，或者更简单地说，“一切都是φ”;和(∃x)ϕx是指“对于某些人?x，x或者更简单地说，“某个东西是φ”或“有一个φ”。稍微复杂一点的例子是(∀x)(ϕx⊃ψx)对于“任意φ即ψ”(∃x)(ϕx·ψx)对于“某个东西同时是φ和ψ，”(∀x)(∃y)ϕxy为“万物承载。关系n - to至少一个东西，”和(∃x)(∀y)ϕxy因为“有一些东西承担了φ到所有东西的关系。”举一个具体的例子，如果φxy意思是“x爱y”值的x而且y假设是人类，那么最后两个公式的意思分别是“每个人都爱某个人”和“有人爱每个人”。

直观地说，文字所表达的概念一些而且每一个两者之间的联系如下:断言某物具有某种性质，等于否认一切事物都缺乏这种性质(例如，说某物是白的，就是说并非一切事物都不是白的);同样地，断言每样东西都有某种性质，等于否认有什么东西缺乏这种性质。这些直观的将其中一个量词作为原语，并以此来定义另一个量词，这种联系反映在通常的实践中。因此∀可以作为原语，而∃则由定义引入(∃一个)α=Df∼(∀一个)∼α，其中一个是任意变量，α是任意wff;或者，∃可以作为原语，而∀则由定义引入(∀一个)α=Df∼(∃一个)∼α。

下谓词演算

在谓词演算中，量词中出现的唯一变量是单个变量，这被称为低(或一阶)谓词演算。已经构造了各种下谓词演算。在其中最直接的一种，也就是在本讨论中将主要关注的，随后将被简单地称为LPC的形式中，wff可以被指定如下:x，y，…(单个变量)，(2)φ， ψ，…，每个指定的度数(谓词变量)，(3)符号∼，∨，∀，(，和)。一个无限现在可以像以前一样使用数字下标来确保每种类型变量的数量。符号·、⊃和≡在PC中定义为，∃如上所述。的形成的规则是:

  1. 由度的谓词变量组成的表达式n紧随其后的是n单个变量是wff。
  2. 如果α是wff，那么∼α也是wff。
  3. 如果α和β是不定的，(α∨β)也是不定的。
  4. 如果α是wff并且一个是单独的变量，那么(∀一个α是wff。(在这样的wff中，α被称为量词的范围。)

如果一个任何个人变量α是任意wff一个在α中，当出现在WFFS(∀一个)α和(∃一个)α。任何不受约束的变量的出现都被称为是免费的．因此，在(∀x)(ϕx∨ϕy)x在ϕx是绑定的，因为它发生在量词包含的范围内x,但y是免费的。在一个低处谓词微积分中，每个谓词变量(φ， ψ， χ，…)的出现都是免费的。不包含自由个体变量的wff称为A关闭wffLPC的。如果将LPC的wff视为命题形式，则通过将其中的所有自由变量替换为谓词或个人名称(视情况而定)来获得它的实例。另一方面，绑定变量表示的不是wff中需要替换的点，而是应用相关量词的点(可以说)。

例如，在φ中x，在这两个变量都是自由的情况下，如果要得到所讨论形式的命题(如“苏格拉底是聪明的”)，则必须适当地替换每个变量;但在(∃)x)ϕx，其中x是绑定的，为了获得一个完整的命题，只需要用一个谓词替换φ(例如，用" Is wise "替换φ)。收益率命题“某事是明智的”)。

有效性在LPC的

直观地说，LPC的wff是有效的，当且仅当它的所有实例都为真。,如果而且only if every result of replacing each of its free variables appropriately and uniformly is a true proposition. A formal definition of validity in LPC to express this intuitive notion more precisely can be given as follows: for any wff of LPC, any number of LPC模型可以形成。LPC模型有两个要素。一个是集合，D，对象，称为a域。D可以包含任意多的或任意少的对象，但它必须包含至少一个对象，并且对象可以是任何类型。另一个元素，V，是一个系统的值赋值满足以下条件。的成员赋给每个变量D(不一定在每种情况下都是不同的)。接下来按以下方式对谓词变量进行赋值:如果φ是单变量，则为它赋值的某个子集D(可能是整个D）;直观地说，这个子集可以看作是所有对象的集合D它们都有φ属性。如果φ是dyadic，则为它分配了一组有序的对象对(即，其中一个被标记为第一个，另一个被标记为第二个的对象对)D；直观地说，这些可以看作是所有的对象对D其中，其中的φ是pair中第一个对象和第二个对象之间的关系。一般来说，如果n是度的n，有赋给它的一些有序的集合n-tuples(组的n的成员)D．就是这样规定原子公式在模型中的值为1，如果的成员D赋给它的各个变量形式，按此顺序，其中之一n赋给其中谓词变量的-元组;否则，它的值为0。因此，在最简单的情况下，φx如果对象赋值给x是分配给φ的对象集中的一个对象;如果不是，则φx值为0。真值函数的值由其参数的值决定，如PC。最后，(∀.x)α等于1，如果(1)α本身的值为1，而(2)α如果进行不同的赋值，将始终为1x但所有其他的作业都完全保持原样;否则(∀x)α的值为0。因为∃可以用∀来定义，所以这些规则涵盖了LPC的所有wff。一个给定的wff当然可能在某些LPC模型中值为1，但在其他LPC模型中值为0。但是LPC的有效wff现在可以定义为在每个LPC模型中值为1的wff。如果1和0被视为代表真理和假度，那么有效性在每个模型中都被定义为真实。

尽管上述LPC中有效性的定义相当精确，但事实并非如此收益率，正如PC效度在真值表方面的相应定义，一个有效的决策过程．的确可以证明，对于LPC来说，没有普遍适用的决策程序是可能的。， LPC不是一个可决定的系统。这并不意味着永远不可能证明LPC的一个给定的wff是有效的——事实上可以证明无限数量的这样的wff的有效性——但它确实意味着在LPC的情况下，与PC不同，没有预先声明的一般程序，可以使人们能够确定，对于任何wff，无论它是有效还是无效。