公理的选择

公理的选择,有时被称为策梅洛是公理的选择、语句的语言集理论可以形成集通过选择一个元素同时从每个成员的无限集,即使在没有的集合算法选择的存在。的axiom选择有很多数学等价的配方,其中一些没有立即意识到是等价的。一个版本,给出任何的分离集(套没有常见的元素),存在至少一个元素组成的一组集合中的每个非空的集;总的来说,这些选择元素构成“选择集。”另一个常见的配方是说任何设置年代存在一个函数f(称为“选择函数”),这样,对于任何非空的子集年代的年代,f(年代)是一个元素年代。

的axiom选择在1904年首次制定的德国数学家恩斯特策梅洛为了证明“良序定理”(每组可以给订单关系,如不到,这下命令;即。,every subset has a first element [看到集理论:为无限,命令集公理])。随后,结果表明:做任何三种assumptions-the公理的选择,良序原则,或佐恩引理启用一个证明另外两个;也就是说,这三个在数学上是等价的。选择属性而非共享的公理公理集合理论,它断言的存在一组没有指定它的元素或任何明确的选择方式。一般来说,年代可以有很多的选择功能。公理的选择仅仅断言,它至少有一个,也没说如何构建它。这个非建设性的特性导致了一些争论关于公理的可接受性。另请参阅数学:基础非建设性的观点。

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历史的逻辑:选择的公理

不需要选择的公理为有限集自选择的过程元素必须最终走到尽头。为无限集然而,需要无限的时间选择一个接一个的元素。因此,无限集不存在有一些明确的选择规则需要选择的公理(或者它的一个等价公式)为了mathematician-philosopher继续选择集。英语伯特兰·罗素给下面的简洁的这种区别的例子:“选择一个袜子的无穷多双袜子需要选择的公理,但不需要鞋子的公理。“例如,一个可以同时选择左鞋从无限的每个成员组鞋子,但是没有规则的存在是为了区分的一双袜子。因此,每个袜子没有公理的选择,必须选择一个接一个永恒的前景。

然而,确实有一些公理的选择违反直觉的的后果。其中最著名的是Banach-Tarski悖论。这表明为实心球体存在(在某种意义上,公理断言集)的存在分解成有限数量的块,可以重新产生一个球体与原始球体的半径的两倍。当然,所涉及的部分不可测;也就是说,一个人不能有效地分配卷。

1939年,奥地利出生的美国逻辑学家库尔特·哥德尔证明,如果其他标准Zermelo-Fraenkel公理(ZF;看到的点击这里查看尺寸表表)是一致的,那么他们不反驳公理的选择。即添加的结果选择公理其他公理(ZFC)保持一致。然后在1963年,美国数学家保罗•科恩完成了通过展示图片,再假设ZF是一致的,ZF不屈服的证明的公理的选择;即公理的选择是独立的。

一般来说,数学社区接受选择的公理,因为其效用和协议直觉关于集。另一方面,挥之不去的不安与某些后果(如良序的实数)导致了公约明确的利用公理的选择时,一个条件不强加于其他集合论公理。