逻辑主义，直觉说,形式主义

在20世纪上半叶，英国的哲学数学的主要观点有三种:逻辑主义，直觉说,形式主义．鉴于此，这些观点都没有被提及似乎有些奇怪。的原因就是(除了某些形式主义的变种之外)这些观点不是上面讨论的那种观点。上面讨论的观点涉及到数学句子真正在说什么，它们真正在说什么。但逻辑主义和直觉主义根本不是这种观点，而就形式主义的某些形式主义是这种观点而言，它们是上述观点的不同版本。那么，逻辑主义、直觉主义和形式主义应该如何界定呢?为了理解这些观点，重要的是要了解知识它们生长的气候。在19世纪末和20世纪初，数学家和数学哲学家开始专注于的想法确保一家公司的安全数学基础．也就是说，他们想要证明数学，就像通常实践的那样，是可靠的、值得信赖的或确定的。逻辑主义、直觉主义和形式主义都是在这个项目中发展起来的。

为数学打下基础的愿望在很大程度上是由这位英国哲学家引起的伯特兰·罗素1901年的发现太天真了集理论包含一个矛盾．人们曾经天真地认为，每一个概念都有一个集属于这个概念的事物;例如，与“蛋”概念相对应的是世界上所有蛋的集合。甚至像“美人鱼”这样的概念也与一个集合有关——即空集合。然而，罗素注意到，没有一个集合对应于“不是自身的成员”这个概念。因为假设有这样一个集合，即。，a set of all the sets that are not members of themselves. Call this set年代．是年代它自己的成员?如果它是，那么它不是(因为所有的集合年代不是他们自己的成员);如果年代不是自身的元素，那么它就是(因为所有的集合都不在年代都是他们自己的成员)。无论哪种方式，矛盾都会随之而来。因此，不存在这样的集合年代．

逻辑主义认为数学真理最终是逻辑真理。这一思想是由弗雷格．他支持逻辑主义与柏拉图主义但逻辑主义也与各种反柏拉图主义的观点一致。逻辑主义在几乎同一时间也得到了罗素和他的伙伴，英国哲学家的支持阿尔弗雷德·诺斯·怀特海．现在还很少有人支持这种观点，虽然有一个新词学派，其主要支持者是英国哲学家克里斯平赖特和罗伯特黑尔。

直觉主义认为某些类型的数学证明(即非建设性的论点)是不可接受的。更根本的是，直觉主义最好被视为一种关于数学断言和否定的理论。直觉主义者信奉一种非标准的观点，即以“对象”为形式的数学句子O拥有财产P，真正的意思是有一个证明的对象O拥有财产P，他们也接受这样的观点，即“not-”形式的数学句子P意思是一个矛盾可以从P．因为直觉主义者接受这两种观点，他们拒绝传统上被接受的断言，对于任何数学句子P,要么P不信,P是真的;正因为如此，他们拒绝非建设性的证明。直觉主义是由L.E.J.这它是由Brouwer的学生开发的。艾伦Heyting后来又被英国哲学家迈克尔·达米．Brouwer和Heyting支持直觉主义与心理学术语但达米特没有，这种观点与各种非心理学的观点是一致的。柏拉图主义和唯名论．

形式主义有几种不同的版本。也许最简单、最直接的方法是超数学形式主义，它认为普通的数学句子似乎是关于数字等事物的，实际上是关于数学句子和理论的。在这种观点下，“4是偶数”不应该被字面理解为数字4是偶数，而是“4是偶数”这个句子从算术公理．形式主义可以与柏拉图主义或各种版本的反柏拉图主义同时持有，但它通常与唯名论相结合。超数学形式主义是由Haskell Curry他把它与某种唯名论结合在一起。

数学柏拉图主义:赞成和反对

哲学家们提出了许多支持或反对柏拉图主义的论点，但其中一个支持柏拉图主义的论点是最突出的，而一个反对柏拉图主义的论点也是最好的。这些论点起源于柏拉图但亲柏拉图主义的论点首先是由弗雷格明确阐述的轨迹《经典反柏拉图论》是美国哲学家保罗·贝纳塞拉夫1973年发表的一篇论文。