动力系统理论与混沌

经典的分析方法，如在前一节中所概述的牛顿和微分方程有其局限性。例如，描述太阳系运动的微分方程不允许用幂级数．最终，这是因为动力学太阳系的能量太复杂了，不可能被幂级数这样简单、表现良好的物体所捕捉。最重要的现代理论发展之一是微分方程的定性理论，也被称为动力系统理论它寻求从一般原理建立解的一般性质，而根本不写下任何显式解。动力系统理论结合局部分析信息，收集在小“街区”周围的特别兴趣点，具有全局几何和拓扑性质的形状和结构廖所有可能的解或路径都存在于其中——这是理论的定性方面。(流形，也称为状态空间或相空间，是多维的模拟曲面的)这种方法在与数值方法，利用计算机来近似求解。

微分方程的定性理论是这位法国数学家的思想结晶亨利。庞加莱在19世纪末。动力系统理论发展的一个主要刺激因素是金在1885年颁发的一个奖项奥斯卡二世他向瑞典和挪威提出了解决太阳系稳定性问题的方案。这个问题基本上是这样提出的:太阳系的行星会永远保持现在的排列方式吗?或者会发生一些戏剧性的事情，比如一颗行星被完全甩出太阳系，或者与太阳相撞?数学家们已经知道，只要涉及到物体的数量，回答这类问题就会出现相当大的困难超过两个。对于在牛顿引力作用下运动的两个物体，可以求解微分方程并推导出它们运动的精确公式:它们围绕彼此作椭圆运动重心．牛顿在证明万有引力平方反比定律可以解释开普勒发现的行星轨道是椭圆形时，进行了这一计算。三个物体的运动被证明是不容易处理的——事实上，没有人能解决这个问题。三体问题奥斯卡是在问一个十体问题的答案(如果把行星的卫星包括在内，就像是一个三十体的问题，如果把小行星包括在内，就像是一个数千体的问题)。

无所畏惧,庞加莱集他为这个问题建立了一个总体框架，但为了取得实质性的进展，他不得不专门研究三个主体，并假设其中一个已经存在可以忽略不计质量与其他两个的比较。这种方法被称为“受限”三体问题，他在这方面的工作获得了Poincaré奖。

具有讽刺意味的是，获奖回忆录包含一个严重的错误，Poincaré在该领域的最大发现是在他急于把错误对(印刷的费用比奖品的价值还多)。事实证明，即使是受限制的三体问题也很难解决。然而，Poincaré确实设法理解了为什么这个问题如此难以解决。通过巧妙的几何论证，他证明了受限制三体问题中的行星轨道过于复杂，任何理论都无法描述显式的公式。他通过引入一种新颖的思想来实现这一目标庞加莱截面．假设某人知道某个解路径，并想知道附近解路径的行为。想象一个表面穿过已知的路径。附近的路径也会穿过这个表面，并可能最终回到它。通过研究这个“第一个返回点”的行为，可以获得关于这些附近解路径的信息。（看到的插图Poincaré部分。)

今天这个术语混乱用来指Poincaré的发现。在20世纪30年代和40年代，数学家和科学家们开始注意到这个简单的现象微分方程有时具有极其复杂的解。美国数学家斯蒂芬·斯梅尔，继续发展Poincaré关于微分方程定性性质的见解，证明在某些情况下解的行为是有效随机的。即使方程中没有随机性的迹象，解中也可能存在真正的随机性元素。俄国学派的动力学家安德烈柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺德几乎在同一时间提出了类似的想法。

这些发现挑战了经典决定论的观点，即“发条宇宙”的观点，它只是从给定的初始条件出发，计算出固定的自然法则的结果。到了20世纪末，Poincaré的发现混乱已经发展成专业了吗纪律在数学，与许多应用科学领域相联系。混乱不仅存在于行星的运行中，还存在于天气和疾病中流行，生态学，流体流动，电化学，声学，甚至量子力学．新的动态观点的最重要的特点是混沌理论但实际上只是动力系统理论的一个分支，并不是认识到许多过程是不可预测的。相反，它是一整套从明显随机的行为中提取有用信息的新技术的发展。混沌理论使人们发现了新的、更有效的方法，将太空探测器发射到月球或遥远的彗星上，发现了新型固态激光器，发现了预测天气和估计天气预报准确性的新方法，发现了心脏起搏器的新设计。它甚至变成了线材和弹簧制造行业的质量控制技术。