n - s方程

我们可能会遇到σ₁₁增加而x₁．的力这个组成部分压力施加的立方元的右边流体画在图9 b会不会大于它在左边施加的相反方向的力，两者之间的差会导致液体加速x₁．加速度沿x₁如果σ₁₂和σ₁₃增加与x₂而且x_3.,分别。这些加速度，以及在其他两个方向上相应的加速度，用运动方程液体的。流体的运动速度比声速它可以被认为是不可压缩的，在其中的变化温度从一个地方到另一个地方，都不足以引起显著的变化剪切粘度η，这个方程是这样的

欧拉推导了这个方程中的所有项，除了左边与(η/ρ)成比例的项，没有这个项，这个方程被称为欧拉方程。整个方程叫做Navier-Stokes方程。

这个方程是用一种紧凑的向量符号写的，许多读者会觉得完全难以理解，但几句解释可能会对其他人有所帮助。“∇”表示梯度运算符，它在标量X前面时，生成一个包含(∂X/∂. X)的向量x₁,∂X /∂x₂,∂X /∂x_3.)．的向量该算子与流体的乘积速度v- - - - - -也就是说,(∇×v) -有时被指定为旋度v[和∇×(∇× .v)也是卷曲v］．(∇×。v)，特别生动地表达了它所代表的局部流型的特征，是涡度．在像固体一样均匀旋转的流体样本中角速度ω₀时，涡度与旋转轴方向一致，其大小为2ω₀．在其他情况下，涡度以类似的方式与局部角速度相关，并可能因地而异。至于(的右边)155)，Dv/Dt表示速度的变化率如果运动流体中单个元素的，也就是说，它表示元素的加速度，而∂v/∂t表示空间中某一点的变化率。如果流动是稳定的，那么∂v/∂t到处都是零，但流体可能是加速同样，当单个流体元素从流线间隔较宽的区域移动到流线距离较近的区域时。这是两者之间的区别Dv/Dt和∂v/∂t- - - - - -也就是说,决赛(v·∇)v期限(155)，将其引入流体中动力学非线性让这门学科充满了惊喜。

潜在的流

本节讨论涡度处处为零的一类重要的流动问题，对于这类问题，纳维-斯托克斯方程可以大大简化。首先，粘度项从它里面去掉了。另一方面，非线性项(v·∇)v，可能会转化为∇(v²/ 2)。最后，可以证明，当(∇×v)为零，可以使用下面的方程，通过标量潜在的φ来描述速度

因此,(155)成为这可能是一次集成为了证明这一点

这个结果包含伯努利定律对于有效不可压缩流体([133])，因为粘度项的消失是可以预期的。它比()更强大。133)，但是，因为它可以应用于非稳态流，其中∂φ /∂t不为零，因为它表明在势流的情况下(157)是处处不变的，而不仅仅是在每条流线上不变。

无涡，或潜在的流动将是相当有限的兴趣，如果不是因为定理，首先由汤姆森在最初没有涡度的流体中，随着流体的运动，涡度保持为零。这个定理似乎为大量问题提供了相对轻松的解决方案。考虑，例如，流体流统一的运动接近某种障碍。在障碍物的上游流体当然是无涡的，所以根据汤姆逊定理，它在障碍物周围和下游也应该是无涡的。在这种情况下，应该存在流动潜力;而且，如果流体实际上是不可压缩的，则可以从公式(152)及(156)。拉普拉斯方程，

这可能是最常发生的微分方程在物理，在适当的边界条件下，求解它的方法已经非常成熟。给定φ的解，流体速度v马上就可以看到，人们可能会发现压力由式(157)．

发明流体的物理学家和数学家动力学在19世纪，他严重依赖这种推理。他们在此基础上取得了辉煌的成就，一个著名的例子是深水波浪理论(见下文)。然而，他们的一些理论有一点不真实。如果从极端的角度来看，前一节的论点意味着，最初静止在烧杯中的水永远不能通过旋转烧杯或用勺子搅拌来使其旋转，这显然是无稽之谈。它表明，无涡的水仍然是无涡的，如果它被挤进一个狭窄的管道，这也显然是荒谬的，为已建立的抛物线轮廓说明图10不是无涡的。是什么误导在这种情况下的争论是，它没有充分关注界面上发生的事情。根据普朗特的工作，物理学家现在认识到，涡量容易在界面处被输入到流体中，无论这些界面是流体与某些固体之间的界面，还是物体的自由表面液体．一旦出现最细微的涡度痕迹，就会破坏汤姆逊定理所依赖的证明条件。此外，在界面处承认的涡度在流体中传播的方式与染料传播的方式大致相同，而势理论的结果是否有用取决于在讨论的特定情况下流体被污染的程度。

势流循环:涡线

汤姆逊定理的证明依赖于汤姆逊提出的循环概念。这个量是为嵌入流体并随流体移动的闭环定义的;用K，它是积分围绕着v·dl,在那里dl是沿循环的长度元素。如果涡度处处为零，那么所有可能的循环周围的循环也是零，反之亦然。汤姆逊证明K如果粘性项在(155)对局部加速度没有贡献，因此两者都有K涡度一直保持为零。

前面曾提到，在流体中旋转圆柱形主轴可以建立一种稳定的流动模式;的流线是圆绕着主轴，然后速度下降r⁻¹．这种流动模式自然发生在漩涡而且台风，其中主轴的作用是由一个“核心”，流体在其中像固体一样旋转;流体围绕的轴称为a涡线。岩心外的每一种小的流体元素，如果单独观察一小段时间，就会发现它们似乎在进行平移而没有旋转，而且局部涡度为零。否则，粘性力矩就不会抵消，流型也就不是稳定的。然而，如果循环被定义为包含主轴或核心的循环，那么循环就不是零。在这种情况下，可以在主轴或核心之外找到符合拉普拉斯方程的电势，但用一些读者可能熟悉的一个技术术语来说，它不再是单值的。

认识这个术语的读者很可能在上下文的电磁值得注意的是，势流理论的所有结果都具有电磁性质类似物，其中流线成为a的力线磁场漩涡线变成了电流．的类比可以通过参考马格纳斯效应．

这种效应(以德国物理学家和化学家H.G.马格纳斯的名字命名，他首先在实验上研究了这种效应)发生在流体稳定地流过一个圆柱形主轴时，在距离主轴很远的地方，流体的速度垂直于主轴的轴，并且均匀等于，例如，v₀，而主轴本身稳定旋转。旋转传递给流体，在稳定状态下，围绕围绕主轴的任何环路(并包含一层流体)的循环相邻对于涡度为非零且势理论不适用的主轴)具有一定的非零值K．描述稳定流动模式的流线(在“边界层”之外)具有所建议的形式图11，尽管细节自然取决于规模的大小v₀而且K．流动模式在P和P '处有停滞点，由于这些点的压力很高，主轴可能会受到垂直于其轴和方向的向下力v₀．详细的计算证实了这一预期，并表明力的大小，每单位长度的主轴，是

这个所谓的马格努斯力类似的对横向磁场所产生的力B₀施加在携带电流的导线上我，其每单位导线长度的大小为B₀我．

旋转气缸上的马格努斯力已被用于推动实验游艇，它与使飞机飞行的翼型上的升力密切相关(见下文)电梯)．然而，使旋转球在飞行中转向的横向力不是马格努斯力，正如有时所断言的那样。它们是由于涡流的不对称性质，发展在一个旋转的球的后部(见下文)边界层和分离)．板球与棒球、网球和高尔夫球不同，球有一个凸起的赤道线，这对使涡流不对称起着重要作用。在板球比赛中，投球手想要使球转向，就会使球旋转，但他这样做主要是为了确保当球向击球手移动时，球缝的方向保持稳定。

这可以通过参考磁力来说明模拟或者用另一种方式说，就是强度相等但相反的直线，±K，它们平行并相隔一段距离d，将在流体中以给定的速度一起横向漂移K/ 2πd．类似地，一条涡线连在一起形成一个半径封闭的涡环一个以给定的速度沿轴漂移在哪里c这条线的核心半径，ln代表自然对数．例如，这个公式适用于烟圈。事实上，这样的环会减速传播可以用的增加来解释c随着时间的推移，由于粘度。