浅水上的波浪gydF4y2Ba
想象一下，有一层水，它的底部是平的，表面上有一个小台阶，将水的深度均匀等于的区域分开gydF4y2BaDgydF4y2Ba从一个一致等于的区域gydF4y2BaDgydF4y2Ba(1 + ε)， ε << 1。让较浅区域的水以某种均匀的速度流向台阶gydF4y2BaVgydF4y2Ba,因为gydF4y2Ba建议，让这个速度gydF4y2Ba足够的gydF4y2Ba保持步伐在同一位置，使流动模式是稳定的。的gydF4y2Ba连续性gydF4y2Ba条件(gydF4y2Ba也就是说,gydF4y2Ba单位时间内从左边流出的水量与从右边流入的水量相等的条件)表明，在较深的区域，水的速度为gydF4y2BaVgydF4y2Ba(1 + ε)gydF4y2Ba−1gydF4y2Ba．因此通过应用gydF4y2Ba伯努利定律gydF4y2Ba到图中标记为P和Q的点，这两个点位于同一流线上，并且在这两个点上gydF4y2Ba压力gydF4y2Ba是大气的，可以推断吗gydF4y2Ba
这一结果表明，如果较浅区域的水实际上是静止的(见gydF4y2Ba)，台阶以同样的速度向前迈过gydF4y2BaVgydF4y2Ba那个方程(gydF4y2Ba138gydF4y2Ba)所描述的，它顺便揭示了，在台阶后面，较深的水迅速跟上gydF4y2BaVgydF4y2Ba[1 - (1 + ε)gydF4y2Ba−1gydF4y2Ba]≈εgydF4y2BaVgydF4y2Ba．这一论点可以很容易地推广到表面的波动而不是阶跃的扰动。假设连续波峰之间的距离，即波长和波长之间的距离gydF4y2Ba表示gydF4y2Baλ -比水的深度大得多，gydF4y2BaDgydF4y2Ba，且其振幅远小于gydF4y2BaDgydF4y2Ba,一个gydF4y2Ba波在静止的水面上以给定的速度传播(gydF4y2Ba138gydF4y2Ba)．因为它们的速度与波长无关，所以我们说它们是非色散的。gydF4y2Ba
很明显，海浪在接近海滩时应该减速gydF4y2BaDgydF4y2Ba减少。如果它们以一个角度接近它，减速效应会弯曲或折射gydF4y2Ba波gydF4y2Ba当它们最终破裂时，它们几乎与海岸平行。gydF4y2Ba
假设现在高度的一个小台阶εgydF4y2BaDgydF4y2Ba(ε << 1)经过gydF4y2Ba静止的gydF4y2Ba均深水gydF4y2BaDgydF4y2Ba在它的后面是同样高度的第二步，朝相同的方向移动。因为第二步(建议用虚线在gydF4y2Ba)在一个以ε速度移动的基地上行进gydF4y2Ba的平方根gydF4y2Ba√gydF4y2Ba（gydF4y2BaggydF4y2BaDgydF4y2Ba）gydF4y2Ba因为基底的厚度是(1 + ε)gydF4y2BaDgydF4y2Ba而不是gydF4y2BaDgydF4y2Ba，第二步速度约为(1 + 3ε/2)。gydF4y2Ba的平方根gydF4y2Ba√gydF4y2Ba（gydF4y2BaggydF4y2BaDgydF4y2Ba）gydF4y2Ba．因为这个大于gydF4y2Ba的平方根gydF4y2Ba√gydF4y2Ba（gydF4y2BaggydF4y2BaDgydF4y2Ba）gydF4y2Ba第二步，必然会赶上第一步。因此，如果有一系列无限小的步骤来不断提高深度gydF4y2BaDgydF4y2Ba在某种程度上gydF4y2BaDgydF4y2Ba，这与gydF4y2BaDgydF4y2Ba，那么表面的斜坡必然会随着它的前进而变得更陡。可以证明如果gydF4y2BaDgydF4y2Ba超过1.3gydF4y2BaDgydF4y2Ba，坡道最终变成一个高度有限的垂直台阶，然后台阶“断裂”。一个有限的步骤，已经打破消散gydF4y2Ba能源gydF4y2Ba在产生泡沫的过程中产生热量gydF4y2Ba运动gydF4y2Ba，伯努利方程不再适用。一个简单的论点基于gydF4y2Ba动量守恒gydF4y2Ba然而，比起能源，gydF4y2Ba就足够了gydF4y2Ba为了证明gydF4y2Ba速度gydF4y2Ba的gydF4y2Ba传播gydF4y2Ba是gydF4y2Ba
潮汐gydF4y2Ba孔gydF4y2Ba，在一些河口可以观察到，这是大规模的现象的例子(gydF4y2Ba139gydF4y2Ba)适用。规模较小的例子包括在堰和水闸下面常见的水力跳跃，在那里，一股平滑的水流突然上升，形成泡沫。在这种情况下，gydF4y2Ba139gydF4y2Ba)描述水的速度，因为锋面本身或多或少是静止的。gydF4y2Ba
当水浅但不是极浅时，使修正项的数量级为(gydF4y2BaDgydF4y2Ba/λ)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba是否显著，小振幅的波变得轻微gydF4y2Ba分散gydF4y2Ba(见下文gydF4y2Ba深水上的波浪gydF4y2Ba)．在这种情况下，河流或运河表面的局部扰动，由河岸以这种方式引导gydF4y2Ba传播gydF4y2Ba只有在一个方向上，才容易像它一样扩散gydF4y2Ba传播gydF4y2Ba．然而，如果它的振幅并不小，在特殊情况下，由于弥散而扩散的趋势可能会被导致振幅较大的波形成孔的因素微妙地平衡，结果是在表面形成一个局部的对称形状的驼峰，它根本不扩散。1834年，在爱丁堡附近的一条运河上，一位名叫gydF4y2Ba斯科特·罗素gydF4y2Ba；后来，他绘声绘色地描述了骑马追赶一公里多的“大gydF4y2Ba孤独的gydF4y2Ba海拔……它沿着海峡继续前进，显然没有改变形状。”斯科特·拉塞尔看到的现在被称为gydF4y2Ba孤子gydF4y2Ba．运河上的孤子可以有不同的宽度，但是宽度越小，高度就越大，孤子传播的速度也就越快。因此，如果一个高而窄的孤子在一个低而宽的孤子后面形成，它就会追上低的孤子。事实证明，当高孤子这样做时，它会穿过低孤子，并以其形状不变的形式出现gydF4y2Ba)．gydF4y2Ba
现在人们认识到，许多非线性微分方程出现在gydF4y2Ba多样化的gydF4y2Ba的分支机构gydF4y2Ba物理gydF4y2Ba具有与孤子相对应的大振幅解，并且孤子在与其他孤子相遇时生存的非凡能力是普遍的。这一发现引起了数学家和物理学家的极大兴趣，对孤子的理解也在迅速扩大。gydF4y2Ba
可压缩流gydF4y2Ba气体gydF4y2Ba
可压缩流动是指流动的速度是相当的，或超过，gydF4y2Ba声速gydF4y2Ba．压缩性是相关的，因为在这样的速度下gydF4y2Ba密度gydF4y2Ba发生在gydF4y2Ba流体gydF4y2Ba从一个地方到另一个地方的迁移不能被忽视。gydF4y2Ba
假设流体是agydF4y2Ba气体gydF4y2Ba在足够低的压力下达到理想状态gydF4y2Ba状态方程gydF4y2Ba，方程(gydF4y2Ba118gydF4y2Ba)，并且它的热导率非常差，以至于气体中每个元素所经历的压缩和稀薄可以被视为绝热的(见上文)。在本例中，由式(gydF4y2Ba120gydF4y2Ba密度的变化伴随着压力的任何微小变化，gydF4y2BadgydF4y2BapgydF4y2Ba，是这样的gydF4y2Ba
这使得gydF4y2Ba集成gydF4y2Ba方程的右边(gydF4y2Ba131gydF4y2Ba)，从而得出一个关于气体稳定可压缩流动的伯努利定律的版本gydF4y2Ba
在流线上是常数。一个等价的说法是gydF4y2Ba
在流线上是常数。值得注意的是，当气体流过a时gydF4y2Ba喷嘴gydF4y2Ba或者通过激波前缘(见下文)，虽然流动是绝热的，但在热力学意义上可能是不可逆的。因此,gydF4y2Ba熵gydF4y2Ba在这样的流动中，气体的流量不一定是恒定的，因此，应用方程(gydF4y2Ba120gydF4y2Ba)是值得商榷的。幸运的是，由(表示的结果gydF4y2Ba141gydF4y2Ba)或(gydF4y2Ba142gydF4y2Ba)可以由不涉及gydF4y2Ba集成gydF4y2Ba(gydF4y2Ba131gydF4y2Ba)．它对定常绝热流动是有效的，无论它是否可逆。gydF4y2Ba
伯努利定律的形式为(gydF4y2Ba142gydF4y2Ba)可用于估计的变异gydF4y2Ba温度gydF4y2Ba以地球的高度gydF4y2Ba大气gydF4y2Ba．即使在最平静的日子里，由于对流(见下文)，大气通常也在运动gydF4y2Ba对流gydF4y2Ba)是由地球表面释放的阳光产生的热量形成的。电流确实是绝热的，而且它们的速度对于这项来说通常是足够小的gydF4y2BavgydF4y2Ba2gydF4y2Ba在(gydF4y2Ba142gydF4y2Ba)是gydF4y2Ba可以忽略不计gydF4y2Ba．因此，人们可以毫不费力地推断出大气的温度应该以线性方式下降gydF4y2Ba也就是说,gydF4y2Ba那gydF4y2Ba
这里用β表示温度gydF4y2Ba递减率gydF4y2Ba，该数量的建议值为(gydF4y2Ba米gydF4y2BaggydF4y2Ba/gydF4y2BaCgydF4y2BapgydF4y2Ba)，干燥空气每公里的温度接近10摄氏度。gydF4y2Ba
这一预测在实践中并没有完全实现。在对流层内(gydF4y2Ba也就是说,gydF4y2Ba到对流延伸到的约10公里高度)，平均温度随高度呈线性下降，但β仅为每公里6.5℃左右。正是大气中的水蒸气，随着空气的上升和冷却而凝结，降低了这一递减率gydF4y2Ba价值gydF4y2Ba通过增加的有效值gydF4y2BaCgydF4y2BapgydF4y2Ba．湿空气的递减率比干空气小，这意味着经过山脉并在山顶以雨或雪的形式储存水分的湿气流在下降到山顶时温度更高gydF4y2Ba海平面gydF4y2Ba在范围的另一边，而不是刚开始的时候。的gydF4y2Ba焚风gydF4y2Ba阿尔卑斯风的温暖正是源于此。gydF4y2Ba
大气压力随高度的变化可以用公式β来估计gydF4y2Ba
这是通过对(gydF4y2Ba123gydF4y2Ba)，使用(gydF4y2Ba118gydF4y2Ba)及(gydF4y2Ba143gydF4y2Ba)．gydF4y2Ba
方程的形式为(gydF4y2Ba141gydF4y2Ba)时，可采用伯努利定律计算gydF4y2Ba速度gydF4y2Ba的gydF4y2Ba声音gydF4y2Ba在气体。论证是直接的gydF4y2Ba类似的gydF4y2Ba与上一节中应用于浅水波浪的方法相比，实际上，在图中gydF4y2Ba如果把它们看作气体密度(或者在绝热流中与密度密切相关的压力或温度)与位置的关系图，也可以用来说明这里的论点。辩论的结果将在没有证据的情况下陈述。如果气体的密度存在一个无穷小的阶梯，它将保持静止，只要气体以一定的速度均匀地流过它，流向密度更高的区域gydF4y2Ba
如果气体是静止的，那么(gydF4y2Ba145gydF4y2Ba)表示步长移动的速度。它也描述了密度波动变化的传播速度gydF4y2Ba构成gydF4y2Ba固定频率或音调的声波因为声速与音高无关，所以声波就像浅水上的波一样，是不分散的。这样也好。正因为没有离散，一个人才能听懂远处说话的人的话，或听到一个人的声音gydF4y2Ba交响乐团gydF4y2Ba无论是在礼堂的后面还是在礼堂的前面，我都很高兴。gydF4y2Ba
值得注意的是，气体中声速的公式可以用其他方法来证明，牛顿在伯努利时代之前一个世纪就已经接近这个公式了。然而，由于牛顿未能理解绝热流动和等温流动之间的区别，他的答案缺乏γ因子出现在(gydF4y2Ba145gydF4y2Ba)．第一个改正这个错误的人是gydF4y2Ba皮埃尔西蒙拉普拉斯gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
以上陈述适用于gydF4y2Ba密度gydF4y2Ba阶跃或波动，其振幅是无穷小的，如果振幅较大，则需要进行一些修改。首先，我们发现，就像浅水上的波浪一样，由于几乎相同的原因，当两个密度小的台阶相互平行移动时，第二个台阶必然会赶上第一个台阶。由此可见，如果存在gydF4y2Ba传播gydF4y2Ba一个区域，其中的密度以连续的方式从ρ到ρ '，其中(ρ ' - ρ)不一定小，那么这个区域的宽度必然会随着时间的推移而减小。最终gydF4y2Ba冲击gydF4y2Ba锋面的发展使其上方的密度——因此压力和温度——几乎不连续地上升。在激波前沿有一些过程，在分子尺度上隐约类似于破裂产生的泡沫gydF4y2Ba水波gydF4y2Ba，使能量以热的形式消散。传播的速度，gydF4y2BaVgydF4y2Ba上海gydF4y2Ba气体中在其前面静止的激波前沿的，可以用gydF4y2BaVgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba而且gydF4y2BaVgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba，为激波前后小振幅声波的速度，由式可得gydF4y2Ba
因此，如果冲击是一个强的(ρ ' >> ρ)，gydF4y2BaVgydF4y2Ba上海gydF4y2Ba可能比两者都大gydF4y2BaVgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba而且gydF4y2BaVgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba”。gydF4y2Ba
即使是最温和的声波，其密度和压力最初以平滑和正弦的方式振荡，也会逐渐发展成一连串的弱激波锋。更明显的冲击锋是以超音速的速度通过喷气发动机喷嘴的气体流动的特征，并伴随着以超音速在静止空气中移动的弹丸。在某些情况下，当超音速飞机沿着弯曲路径飞行时，伴随的gydF4y2Ba冲击波gydF4y2Ba可能不小心gydF4y2Ba加强gydF4y2Ba在一些地方，因此成为引人注目的冒犯性的“gydF4y2Ba音爆gydF4y2Ba，这可能会打破窗户玻璃和造成其他损害。当然，爆炸后也会立即出现强烈的冲击锋，当窗玻璃被爆炸打碎时，碎玻璃倾向于向外而不是向内掉落。之所以会出现这种情况，是因为玻璃被相对较低的密度和压力吸了出来。gydF4y2Ba
的图表gydF4y2Ba展示一个著名的gydF4y2Ba建设gydF4y2Ba他是奥地利物理学家gydF4y2Ba恩斯特马赫gydF4y2Ba这就解释了超音速弹丸伴随激波锋的起源。图中的圆弧表示随速度扩散的球形扰动的截面gydF4y2BaVgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba来自中心(S’，S″等)，这些中心标记了移动源S在发射时的位置。如果源是像箭尖一样的东西，它通过在行进时分离空气来干扰空气，但当它静止时是听不到的，那么由于尖端的某种无限小位移而引起的每一个“扰动”都是一个无限小厚度的球壳，在这个球壳内，空气被赋予了一个小的径向速度。有一个gydF4y2Ba无限gydF4y2Ba这种相互重叠的扰动的数量，其中只有少数在gydF4y2Ba．当源的速度，gydF4y2BaUgydF4y2Ba，小于gydF4y2BaVgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba（gydF4y2Ba)，将它们加在一起的结果是在移动的障碍物周围产生一种稳定的回流，并且没有正常意义上的声音发射;消息来源仍然听不见。当gydF4y2BaUgydF4y2Ba超过gydF4y2BaVgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba，然而，球形扰动相互加强，如gydF4y2Ba显示，在一个圆锥上gydF4y2Ba苛性gydF4y2Ba曲面，形成了sin的角度gydF4y2Ba−1gydF4y2Ba（gydF4y2BaUgydF4y2Ba/gydF4y2BaVgydF4y2Ba)到震源的传播线上，在这个表面上可以预料到一个激波锋。随着源的加速，锥变得更锋利。gydF4y2Ba