的Neumann-Bernays-Godel公理

第二个公理化集理论(看到的点击这里查看全尺寸表格表Neumann-Bernays-Gödel公理)起源于约翰·冯·诺依曼在20世纪20年代。他的配方与ZFC有很大的不同，因为概念的函数，而不是set，被认为是未定义的，或“原始的”。然而，在1937年开始的一系列论文中，这位瑞士逻辑学家保罗·伯奈斯他是德国形式主义者的合作者大卫希尔伯特他修改了冯·诺依曼的方法，使其与ZFC的联系更加密切。1940年，奥地利出生的美国逻辑学家库尔特·哥德尔他进一步简化了该理论。这公理集合论的版本被称为NBG，以Neumann-Bernays-Gödel公理命名。稍后将解释，NBG与ZFC密切相关，但它允许显式地处理所谓的类:可能太大而不能作为集合的集合，例如所有集合的类或所有序数的类。

为了说明目的，采用NBG的两个未定义概念是方便的:类还有二进制关系会员的∊(尽管，在ZFC中也是如此，∊就足够了)。对于预期的解释，变量将类(与某些属性对应的总和)作为值。如果一个类是某个类的成员，则它被定义为一个集合;那些不是集合的类被调用适当的类。直观地说，集合是那些足以用于的类数学，而适当的类被认为是那些“大到”的集合，如果允许它们被集合，就会产生矛盾。在NBG，经典悖论可以通过在每种情况下证明悖论Is based是一个合适的类。，不是一个集合。

下面关于公理的评论仅限于将它们与ZFC中的对应特性区别开来的特性。的类形成的公理模式以表单的形式呈现促进与公理ZFC分离模式。然而，在NBG的详细开发中，出现了一个由七个公理(不是模式)组成的列表，这些公理声明，对于每个特定的条件，存在满足条件的所有这些集合的相应类。从这个有限的公理集，每个公理都是上面图式的实例，图式(在广义形式下)可以得到定理．当以这种方式获得时，NBG的类形成的公理模式称为类存在定理。

简而言之，NBG表中的公理4到公理8是集合存在性公理。下一个公理也是如此，由于技术原因，它通常以更一般的形式表达。最后，可能会出现NBG和模拟ZFC的最后一个公理(约束公理)。

对已经表述的两种理论进行比较是合适的。与ZFC替换的公理模式相比，NBG版本(表中的公理9)不是公理模式，而是公理。因此，考虑到上面关于分离的ZFC公理模式的注释，可以得出NBG只有有限数量的公理。另一方面，由于ZFC的替换公理模式为每个公式提供了一个公理，ZFC有无限多个公理——这是不可避免的，因为已知没有有限子集收益率公理的完整系统。NBG公理的有限性使得系统的逻辑研究更加简单。这两个理论之间的关系可以用这样一句话来概括:ZFC本质上是NBG中只涉及集合的部分。事实上，已经证明了ZFC的每一个定理都是NBG的定理，而NBG中任何只讨论集合的定理都是ZFC的定理。由此可以得出，当且仅当NBG一致时，ZFC是一致的。

公理化集合论的局限性

事实上，NBG避免了在ZFC中没有明显的方法来推导它们中的任何一个，这并没有解决经典悖论的问题一致性无论哪种理论。建立公理理论一致性的一种方法是给出一个模型。在另一种理论中，对未定义术语的解释，使得公理成为另一种理论的定理。如果另一个理论是一致的，那么正在调查的理论也一定是一致的。因此，这种一致性证明是相对的:如果给出模型的理论是一致的，那么给出模型的理论就是一致的。然而，模型的方法并不能证明集合公理理论的一致性。在集合论的情况下，实际上，在一般的公理理论中替代是解决问题的直接方法。

如果T作为(绝对)一致性所研究的理论，这个替代命题意味着“没有关于?T它和它的否定都是定理T必须证明。由形式主义者发展出来的用于证明公理理论的数学理论T被称为证据理论或超数学。它是为前提在制定T作为一个正式的公理理论，即。，理论推理(以及T)必须公理化。然后才有可能呈现T以一种纯粹的象征形式。作为一种基于字母的形式语言，它的符号是用于的未定义术语的符号T还有逻辑运算符和连接词。这种语言的句子是由字母表按照规定的规则组成的公式。元数学的希望在于，通过只使用直观上令人信服的弱数论论证(称为有限方法)，无懈可击地证明这些理论的一致性公理可以给出集合理论。

1931年，这一希望受到了沉重的打击，因为库尔特Gödel证明了一个关于任何形式理论的定理年代这包括基本的常用词汇算术．通过用自然数(现在称为哥德尔的数字)，通过讨论这些数字，Gödel能够做出的超数学年代成为算术的一部分年代因此可以用年代．所讨论的定理断言公式年代这表示(通过编码)年代是一致的年代是不可证明的吗年代如果年代是一致的。因此,如果年代是一致的，那么一致性呢年代不能在内部证明年代；更确切地说，是超越那些可以表达或反映的方法年代必须被录用。因为在ZFC和NBG中都可以发展初等算术，Gödel的定理适用于这两个理论。尽管在理论上仍然存在有限一致性证明的可能性，而这种有限一致性证明不能反映在前面的集合论系统中，但并没有获得有希望的、积极的结果。

Gödel的其他定理当应用于ZFC时(NBG也有相应的结果)断言，如果系统是一致的，那么(1)它包含一个句子，使得它和它的否定都是不可证明的(这样的句子称为不可判定的)，(2)没有算法(或迭代(3)这些同样的陈述适用于任何由ZFC通过附加其他公理或公理图式而产生的一致理论。显然，ZFC可以作为当今所有数学的基础，因为每个数学定理都可以在ZFC或通过添加适当的公理得到的扩展中被转换和证明。因此，在每一个这样的理论中都存在不可判定的句子，指出了在数学中为真的句子和在一个公理理论中可证明的句子之间不可避免的差距。事实上，可以想象的数学比公理方法所能捕捉到的更多，这促使美国逻辑学家Emil Post在1944年评论说:“数学思维本质上是，而且必须保持创造性。”