历史背景
数值算法至少一样古老埃及吗Rhind纸莎草(1650 c。公元前),它描述了一个root-finding解决一个简单的方法方程。古希腊数学家使许多数值方法的进一步发展。特别是,Eudoxus尼多斯的(c。400 - 350公元前)创建和阿基米德(c . 285—212/211公元前)完善疲劳的方法计算长度、地区和大量的几何数据。当作为一个方法来找到近似,它在大部分现代数值积分的精神;这是一个重要的前体的发展微积分通过艾萨克·牛顿(1642 - 1727)戈特弗里德莱布尼兹(1646 - 1716)。
特别是微积分,物理现实导致精确的数学模型,首先在物理科学,最终在其他科学、工程、医学、和业务。这些数学模型通常太复杂需要解决显式,并努力获得近似,但是非常有用,给了一个主要的解决方案动力对数值分析。数值方法的发展的另一个重要方面的创造对数1614年由苏格兰的数学家约翰纳皮尔和其他人。对数取代繁琐的乘法和除法(通常涉及许多数字的准确性)使用简单的加法和减法后将原始值转换为相应的对数通过特殊的表。(这个过程的机械化促使英国发明家查尔斯巴贝奇(1791 - 1871)建立第一个电脑看到计算机的历史:第一台电脑。)
牛顿创建了一个数量的数值方法来解决各种各样的问题,和他的名字是仍然连接到许多归纳他最初的想法。特别要注意的是他的工作寻找根(解决方案)功能找到一个最适合的多项式方程集的数据(“多项式插值”)。牛顿之后,许多18世纪和19世纪的数学巨人为数值分析作出了重大贡献。其中最重要的是瑞士欧拉(1707 - 1783),法国约瑟夫·路易斯·拉格朗日(1736 - 1813),德国卡尔•弗里德里希•高斯(1777 - 1855)。
其中最重要的、最具影响力的早期的数学模型科学是由牛顿描述的影响重力。根据这一模型,施加于身体的重力的质量米地球的大小F=G米米e/r2,在那里米e是地球的质量,r是两个身体的中心之间的距离,然后呢G是普遍的引力常数。上的力米是指向重心地球的。牛顿模型导致了许多的问题,需要解决方案通过近似方法,通常涉及普通微分方程。
后发展他的牛顿基本物理定律,许多数学家和物理学家应用这些法律获得的数学模型固体和流体力学。土木和机械工程师的模型仍然基于这项工作,和数值分析是他们的一个基本工具。在19世纪,包括现象热,电,磁性成功建模;在20世纪,相对论力学,量子力学和其他理论创建结构来扩展和提高早期思想的适用性。最广泛的数值分析技术之一使用这样的模型包括近似一个复杂的、连续的表面、结构或过程由有限数量的简单元素。被称为有限元方法(FEM),这项技术是由美国工程师哈罗德·马丁和其他帮助波音公司分析压力迫使新飞机机翼设计在1950年代。有限元法广泛应用于应力分析,传热、流体流动和扭转分析。
数值分析理论
下面是一个粗略的分类的数学理论基础数值分析,记住,会有大量的重叠之间的地区上市。
数值线性和非线性代数
许多应用中存在的问题数学涉及求解线性方程组,线性系统发生自然在某些情况下,作为解决方案的一部分过程在其他情况下。线性系统通常使用矩阵向量符号,一个x=b与一个的矩阵系数的系统,x列向量未知的变量x1、…xn,b一个给定的列向量。用1000变量解决线性系统在大多数情况下现在被认为是相对简单的。为小到中等大小的线性系统(比如n≤1000)的数值方法高斯消去法和它的变体;这只是一个精确表示算法的变体的方法,介绍了消除变量初等代数。对于较大的线性系统,有不同的方法取决于系数矩阵的结构一个。直接方法导致理论上精确解x在一个有限数目的步骤,用高斯消去法最著名的例子。在实践中,有错误的计算值x由于舍入误差的计算,因有限长度的数据标准的计算机算术。迭代方法是近似方法,创建一个序列的近似解的精度增加。
非线性问题往往是治疗数值减少序列的线性问题。作为一个简单但重要的例子,考虑解决问题的一个非线性方程f(x)= 0。近似的图的y=f(x),切行在一个点x(0)接近理想的根(使用括号中是一种常见的符号约定来区分的迭代求幂),并使用根的切线近似原始的非线性的根源函数f(x)。这将导致牛顿迭代法先后寻找更好的近似理想的根:x(k+ 1)=x(k)−f(x(k))/f′(x(k)),k= 0、1、2、…在哪里f′(x)显示第一个导数最初的功能。
这个概括处理非线性方程组。让f(x)= 0表示的系统n非线性方程n未知数x= (x1、…xn)。这个系统是由牛顿法求解x(k+ 1)=x(k)+δ(k)f′(x(k))δ(k)=−f(x(k)),k= 0,1,2,…
在这方面,f′(x)是一个泛化的导数被称为的雅可比矩阵f(x),第二个方程是一个线性系统n。有许多其他方法解决非线性系统,大多数基于使用某种类型的近似线性函数。
一个重要的相关类的标题下的问题发生优化。给定一个实值函数f(x),x向量的未知数的值x,最大限度地减少f(x)是寻求。在某些情况下x是允许自由变化,在其他情况下有限制吗x。这样的问题经常发生在业务应用程序。