恰当方程

恰当方程的类型,微分方程可以直接解决,而无需使用任何特殊技巧的主题。一阶微分一个变量的方程()被称为精确,或一个恰当微分,如果它是一个简单的结果分化。这个方程P(x,y)^dy/_dx+问(x,y)= 0,或等效替代符号P(x,y)dy+问(x,y)dx= 0,是准确的^∂P(x,y)/_∂x=^∂问(x,y)/_∂y。在这种情况下,将会有一个函数R(x,y),部分x- - - - - -导数的是问和部分y导数是P这样,方程R(x,y)=c(c是常数)将隐式地定义一个函数y满足最初的微分方程。

例如,在方程(x²+ 2y)^dy/_dx+ 2xy+ 1 = 0,部分x导数的x²+ 2y是2x和部分y导数的2xy+ 1还是2x和函数R=x²y+x+y²满足的条件R_x=问和R_y=P。隐式定义的函数x²y+x+y²=c能解决原始方程。有时如果一个方程是不准确的,它可以完全通过每一项乘以一个合适的函数被称为集成的因素。例如,如果方程3y+ 2xy′= 0乘以1 /xy,它将成为3 /x+ 2y′/y= 0,这是的直接结果区分的方程自然对数函数(ln)出现:3 lnx+ 2 lny=c,或等价x³y²=c隐式地定义了一个函数,将满足原始方程。

高阶方程也称为精确如果他们是区分一个低阶方程的结果。例如,二阶方程p(x)^d2y/_dx²+问(x)^dy/_dx+r(x)y= 0如果有一个一阶表达式是恰当的p(x)^dy/_dx+年代(x)y这样它的导数是给定的方程。给定的方程将准确的,如果且仅当,p^d2y/_dx²+问^dy/_dx+r= 0,在这种情况下年代在简化方程相等问−p(^dy/_dx)。如果方程是不准确的,可能会有一个函数z(x),也称为一个积分因子,这样当方程乘以函数z它变得精确。