条件概率的应用

总量定律的应用概率解决了最初由克里斯蒂安·惠更斯就是找到"赌徒的毁灭。”假设有两个玩家，通常叫彼得和保罗，一开始有x而且米−x美元,分别。一个球，概率是红色的p黑色表示概率问= 1−p，是从瓮里抽出来的。如果抽到红球，保罗必须付给彼得一美元，如果抽到的球是黑球，彼得必须付给保罗一美元。球被换掉，游戏继续进行，直到其中一名球员被毁。用直接的方法来确定彼得破产的概率是相当困难的分析在所有可能的情况中。但让问（x）表示这个概率是a函数彼得最初的财产x并观察到，在一次抽完之后，剩下的游戏结构与第一次抽完之前完全一样，除了彼得的财富现在也一样x+ 1或x−1根据第一次抽签的结果。总概率定律一个={第一次抽红球}和一个^c={第一次抽黑球}表明

这方程适用于x= 2,3，…，米−2。它也适用于x= 1和米−增加边界条件时为1问(0) = 1和问（米= 0，也就是说，如果彼得最初有0美元，他破产的概率是1，而如果他拥有所有米美元，他肯定会赢。

它可以是验证通过直接代入，式(5)和指定的边界条件满足

通过一些额外的分析，有可能表明这些给出了唯一的解，因此一定是期望的概率。

假设米= 10x，所以保罗最初拥有的钱是彼得的9倍。如果p= 1/2时，Peter破产的概率为0.9，而不考虑x而且米．如果p= 0.51，所以每次试验都略微对彼得有利，情况就大不相同了。为x= 1和米= 10时，彼得破产的概率为0.88，仅略低于之前。然而,对于x= 100 and米= 1000时，彼得在每次试验中的微弱优势变得非常重要，以至于他最终破产的概率现在小于0.02。

赌徒破产问题的概括在统计学中占有重要的地位顺序该分析是由匈牙利出生的美国统计学家提出的亚伯拉罕·瓦尔德在响应需求期间提出了更有效的工业质量控制方法二战期间．他们也进入保险风险理论，这是在本节讨论随机过程:保险风险理论．

下面的例子说明了这一点，即使给出了一个发生时，它在评估中很重要P（B|一个)来认识到一个^c可能发生，因此原则上也可以求出P（B|一个^c)．通过抽签，三名囚犯中的两名——山姆、吉恩和克里斯——被选中执行死刑。有可能被选择执行死刑的囚犯对，其中两对包含山姆，所以山姆的概率是计划执行是2/3。山姆问卫兵，其他人中谁将被处死。既然至少有一个人是这样的，警卫似乎不会通过回答给山姆任何信息。在听说珍将被处死后，山姆推断，既然他和克里斯中有一个一定是另一个，那么他将被处死条件概率他被处决的可能性只有一半。因此，警卫似乎给了萨姆一些关于他自己命运的信息。然而，这个实验的定义是不完整的，因为它没有规定在两个都要被处决的情况下，守卫如何选择是回答“Jean”还是“Chris”。如果警卫有概率回答"简p，假设“警卫说Jean将被处死”，“Sam将被处死”事件的条件概率为

只有在这种情况下p= 1是山姆的推理正确的。如果p= 1/2时，警卫实际上没有提供任何关于山姆命运的信息。

独立

其中最重要的一个概念概率论中的“独立性”。的事件一个而且B是(随机)独立的，如果P（B|一个) =P（B)，或等价的if

这个定义在条件概率方面的直观含义是B知道这一点不就改变了吗一个发生。由式(7)可知，定义是对称的一个而且B．

直观上很清楚，在画两个球与替换从瓮装有r红色和b黑球、“第一次抽红球”事件和“第二次抽红球”事件是独立的。(这种说法的前提是，在每次抽签前，球都完全混合。)对(r+b）²实验的等可能结果表明，形式定义确实是满足的。

在独立概念方面，实验导致了二项分布可以这样描述。在一次试验中，一个特定事件具有概率p．实验包括n本试验的独立重复。特定事件准确发生的概率我时间由方程(3.)．

独立性在教育中起着核心作用大数定律,中心极限定理,泊松分布,布朗运动．

贝叶斯定理

现在考虑条件概率的定义关系P（一个_n|B)，而一个_我是相互独家它们的并集就是整个样本空间。替换P（一个_n）P（B|一个_n)在方程分子(4)，将总概率定律的右边替换为分母，就得到了贝叶斯定理(以18世纪英国牧师托马斯·贝叶斯命名)或逆概率定律:

举个例子，假设从一个装有r红色和b黑球。让一个是事件“红色的第一次抽”和B事件“第二次抽红”。从明显的关系P（一个) =r/ (r+b) = 1−P（一个^c)，P（B|一个) = (r−1)/(r+b−1),P（B|一个^c) =r/ (r+b−1)，根据贝叶斯定理，在已知第二个球是红色的情况下，第一次抽到一个红球的概率等于(r−1)/ (r+b−1)在讨论主观概率时，贝叶斯定理的一个更有趣和更重要的用法出现在下面。

随机变量

通常把数字联系起来更方便值而不是直接用非数字描述，比如“第一次抽到红球”。例如，绘图实验的一个结果n球与替换瓮包含黑球和红球是一个n-tuple，它告诉我们在每次抽取时是抽取了一个红球还是黑球。这n-tuple可以方便地用n数组中出现1和0的-元组k位置表示一个红色的球被画在k画。一个特别有趣的量是抽出的红球的数量，它就是这个数值描述实验结果的条目的和。数学上与给定元素相关联的规则集一个独特的实数称为“(实值)函数”。在历史上统计数据概率，定义在样本空间上的实值函数传统上被称为"随机变量"因此，如果一个样本空间年代具有泛型元素e，一个实验的结果，然后一个随机变量是实值函数吗X＝X（e)．通常人们会省略这个论证e用随机变量的表示法。在从装有黑球和红球的瓮中抽出球的实验中，R，即抽到的红球数，是一个随机变量。一个特别有用的随机变量是1[一个),事件的指示器变量一个，如果= 1一个发生，否则为0。常数是A微不足道的无论实验结果如何，总是取相同值的随机变量。