拉格朗日和汉密尔顿方程

优雅而强大的解决方法也被设计出来动态约束的问题。其中最著名的是拉格朗日方程。的拉格朗日l定义为l＝T−V,在那里T是动能而且V的势能我们正在讨论的系统。一般来说，系统的势能取决于系统中所有粒子的坐标;这可以写成V＝V（x₁，y₁，z₁，x₂，y₂，z₂，……)．动能通常取决于速度，用这个符号v_x＝dx/dt＝ẋ，可写成T＝T（ẋ₁，ẏ₁，ż₁，ẋ₂，ẏ₂，ż₂，……)．因此，一个动态问题有六个方面动态变量对于每个粒子，X y z而且ẋ， ẏ，耶而拉格朗日量取决于这6个N变量，如果有N粒子。

然而，在许多问题中，问题的约束条件允许写出至少与其中一些变量有关的方程。在这些情况下，6N相关的动态变量可以简化为较少的独立变量广义坐标(用符号写为问₁，问₂……问_我，……)而且广义速度(写为问̇₁，问̇₂……问̇_我，……)，just as, for the rigid body, 3N坐标被简化为六个独立的广义坐标(每个坐标都有一个相关的速度)。那么拉格朗日量可以表示为所有的函数问_我而且问̇_我．仅从牛顿定律出发，就有可能推导出拉格朗日方程

这里的符号∂l/∂问_我意味着区分l关于问_我只是，保持所有其他变量不变。有一个方程的形式是(94)为每个广义坐标问_我(例如，刚体的六个方程)，其解得到完整的动力学系统的。使用广义坐标可以使许多形式为(91)，简化为更少的独立方程，其形式为(94）.

还有一种更强大的方法叫做汉密尔顿的方程。首先定义a广义动量p_我，它与拉格朗日量和广义量有关速度问̇_我通过p_我=∂l/∂问̇_我．一个新函数哈密顿，则由H=Σ我问̇_我p_我−l．从这一点上讲不难推导出而且

这些叫做哈密顿方程。每个广义坐标有两个。它们可以用来代替拉格朗日方程，优点是只涉及一阶导数，而不涉及二阶导数。

哈密顿方法特别重要，因为它在公式中很实用量子力学．然而，它在经典力学中也很重要。如果问题中的约束条件不显式地依赖于时间，那么它可能表明H＝T+V,在那里T动能是和吗V是系统的势能，即。，的哈密顿我s equal to the total energy of the system. Furthermore, if the problem is各向同性（H不依赖于空间方向)和均匀（H不随空间的均匀平移而改变)，那么汉密尔顿方程立即收益率的法则角动量守恒而且线性动量,分别。