代数与超越的对象

一个重要的区别微分学的皮埃尔·德·费马和勒奈·笛卡尔和完整的演算艾萨克·牛顿和戈特弗里德威廉莱布尼茨之间的区别是代数和超越的对象。微分学的规则是世界上完整定义的代数curves-those方程的形式p(x,y)= 0,p是一个多项式。(例如,最基本的抛物线由多项式方程给出y=x²)。在他的几何1637年,笛卡尔将这些曲线称为“几何”,因为他们“承认精确和准确的测量。他对比了它们与“机械”曲线获得的过程,如轧制曲线沿着另一个或解除一个线程从一个曲线。他相信这些曲线的性质永远不可能完全知道。特别是,他相信曲线的长度”不能发现的人类思想。”

几何和力学的区别实际上是没有明确的:心形,通过滚动一圈一圈的大小相同,代数,但摆线,通过滚动一圈沿着一条线,不是。然而,它通常是真正的机械过程产生曲线nonalgebraic-or先验,莱布尼茨称为。笛卡尔是真的错在以为永远不可能完全超越曲线。正是积分,使数学家们面对先验。

是一个很好的例子悬链线,形状假定悬链(看到图)。悬链线看起来像一个抛物线,事实上伽利略推测它是。然而,在1691年约翰·伯努利,克里斯蒂安·惠更斯独立,莱布尼兹发现悬链线方程并不是是真的y=x²但y=^(ex+e−x)/₂。

上述公式给出了现代符号;诚然,指数函数e^x没有一个名字或符号由17世纪。然而,它的幂级数被牛顿发现,所以在一个合理的意义上完全清楚。

牛顿也是第一个给的方法识别的transcendance曲线。意识到一个代数曲线p(x,y)= 0,p是一个多项式的学位n,遇到一条直线n点,牛顿说他原理任何曲线会议一行在无限多的点必须超越。例如,摆线是先验的,是任何螺旋曲线。事实上,悬链线也超越,尽管这才变得清晰复杂参数的指数函数的周期性是在18世纪发现的。

代数之间的区别和超越也可能被应用到数字。数字√√2被称为代数的数字因为他们满足整系数多项式方程。(在这种情况下,√√2满足的方程x²= 2)。所有其他的数字被称为先验的。早在17世纪,超越数字被认为存在,π是通常的嫌疑人。也许笛卡尔π记住当他绝望找到直线和曲线之间的关系。一位才华横溢的,虽然有缺陷,试图证明π是超越了詹姆斯·格雷戈里在1667年。然而,17世纪的问题是太困难的方法。π的transcendance直到1882年才成功地证明了,当卡尔·林德曼改编transcendance的证明e发现的查尔斯·埃尔米特在1873年。